Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
16. z=e^x y sen 4 y^2

Passo 1

Temos a função de duas variáveis
z = e^xysin(4y^2)
O conteúdo é derivadas parciais e vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para diferenciar em relação a x e em relação a y.

Passo 2

Para calcular partial z/partial x, tratamos y como constante. Aplicando a regra do produto, temos:
partial zpartial x = ddxl(e^xyr) cdot sin(4y^2)
E pela regra da cadeia para e^u com u=xy:
ddxl(e^xyr) = e^xy cdot ddx(xy) = e^xy cdot y
Logo,
partial zpartial x = y,e^xy,sin(4y^2)

Passo 3

Para calcular partial z/partial y, usamos a regra do produto em
z = e^xy cdot sin(4y^2)
Seja f=e^xy e g=sin(4y^2). Então
partial zpartial y = f',g + f,g'
Pelo lado de f:
f' = ddy(e^xy) = e^xy cdot ddy(xy) = x,e^xy
Pelo lado de g, usando regra da cadeia com u=4y^2:
g' = ddysin(4y^2) = cos(4y^2) cdot ddy(4y^2) = 8y,cos(4y^2)
Combinando,
partial zpartial y = x,e^xy,sin(4y^2) + e^xy,(8y,cos(4y^2))

Passo 4

Podemos colocar em forma fatorada para simplificar a escrita:

Passo 5

partial zpartial y = e^xyl(x,sin(4y^2) + 8y,cos(4y^2)r)

Resposta

[\n\frac{\partial z}{\partial x} = y\,e{xy}\,\sin(4y2)
]\n[\n\frac{\partial z}{\partial y} = e{xy}\bigl(x\,\sin(4y2) + 8y\,\cos(4y^2)\bigr)
]

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