Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
x \frac{d y}{d x}+y=4 x+1, \quad y(1)=8

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação
x\frac{dy}{dx}+y=4x+1,
com a condição inicial
y(1)=8.
  • Precisamos também dar o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
  • Informação importante do enunciado (relevante para o domínio): o coeficiente que multiplica \frac{dy}{dx} é x, então em x=0 há um ponto onde a equação não está escrita na forma padrão (possível singularidade). Isso indica que a solução não pode ser estendida através de x=0 sem investigação extra.

Passo 2

Reescrever a equação na forma linear padrão para equações de primeira ordem.
  • A forma linear padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções de x.
  • Partindo de
x\frac{dy}{dx}+y=4x+1,
dividimos ambos os lados por x (válido enquanto x\neq0) para obter a forma padrão:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=4+\frac{1}{x}.
  • Aqui P(x)=\frac{1}{x} e Q(x)=4+\frac{1}{x}. Note que estamos considerando x\neq0.

Passo 3

Apresentar a técnica a usar: fator integrante (explicação didática).
  • Para resolver uma equação linear
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
usamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
  • O motivo: multiplicando a equação por \mu(x) faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y:
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
  • Assim podemos integrar facilmente e resolver para y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso.
  • Temos P(x)=\frac{1}{x}. Então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{1}{x}\,dx\Big)=\exp(\ln|x|)=|x|.
  • Como a condição inicial está em x=1>0, podemos escolher a expressão positiva \mu(x)=x ao trabalhar no intervalo que contém 1. (Se estivéssemos em x<0 usaríamos \mu(x)=-x, mas o resultado prático fica equivalente até sinal constante.)

Passo 5

Multiplicar a equação por \mu(x) e identificar a derivada do produto.
  • Multiplicando a forma padrão por x obtemos:
x\frac{dy}{dx}+y = x\Big(4+\frac{1}{x}\Big)=4x+1.
  • Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x y, pois
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\frac{dy}{dx}+y.
  • Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=4x+1.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x.
  • Integramos:
\int \frac{d}{dx}\big(xy\big)\,dx = \int (4x+1)\,dx.
  • O lado esquerdo integra diretamente para xy. No direito, integramos termo a termo:
\int 4x\,dx = 2x^2,\qquad \int 1\,dx = x.
  • Assim obtemos
xy = 2x^2 + x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolar y e escrever a solução geral.
  • Dividindo por x (novamente x\neq0):
y = \frac{2x^2 + x + C}{x} = 2x + 1 + \frac{C}{x}.
  • Portanto a solução geral (em qualquer intervalo que não contenha 0) é
y(x)=2x+1+\frac{C}{x}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
  • A condição é y(1)=8. Substituindo x=1 na solução geral:
8 = 2\cdot 1 + 1 + \frac{C}{1}.
  • Então
8 = 3 + C \quad\Rightarrow\quad C=5.
  • Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=2x+1+\frac{5}{x}.

Passo 9

Determinar o maior intervalo I onde a solução está definida e justificar.
  • A expressão y(x)=2x+1+\frac{5}{x} é bem definida para todo x\neq0.
  • A equação original exigiu divisão por x, portanto x=0 é um ponto singular e a solução não pode ser estendida de forma contínua através de 0 sem análise adicional.
  • Como a condição inicial está em x=1>0, o maior intervalo contendo 1 onde a solução é válida e única é
I=(0,\infty).
  • (Existe outra família de soluções válida em (-\infty,0), mas não contém x=1, portanto não é relevante para o problema com a condição inicial dada.)

Resposta

y(x)=2x+1+\dfrac{5}{x}\n I=(0,\infty)

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