Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
- Pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação
com a condição inicial
- Precisamos também dar o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida. - Informação importante do enunciado (relevante para o domínio): o coeficiente que multiplica
é , então em há um ponto onde a equação não está escrita na forma padrão (possível singularidade). Isso indica que a solução não pode ser estendida através de sem investigação extra.
Passo 2
Reescrever a equação na forma linear padrão para equações de primeira ordem.
- A forma linear padrão é
onde
e
são funções de
.
- Partindo de
dividimos ambos os lados por
(válido enquanto
) para obter a forma padrão:
- Aqui
e . Note que estamos considerando .
Passo 3
Apresentar a técnica a usar: fator integrante (explicação didática).
- Para resolver uma equação linear
usamos o fator integrante
definido por
- O motivo: multiplicando a equação por
faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto :
- Assim podemos integrar facilmente e resolver para
.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso.
- Temos
. Então
- Como a condição inicial está em
, podemos escolher a expressão positiva ao trabalhar no intervalo que contém . (Se estivéssemos em usaríamos , mas o resultado prático fica equivalente até sinal constante.)
Passo 5
Multiplicar a equação por
e identificar a derivada do produto.
- Multiplicando a forma padrão por
obtemos:
- Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
- Portanto a equação fica
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
.
- Integramos:
- O lado esquerdo integra diretamente para
. No direito, integramos termo a termo:
- Assim obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolar
e escrever a solução geral.
- Dividindo por
(novamente ):
- Portanto a solução geral (em qualquer intervalo que não contenha
) é
Passo 8
Aplicar a condição inicial para determinar a constante
.
- A condição é
. Substituindo na solução geral:
- Então
- Logo a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 9
Determinar o maior intervalo
onde a solução está definida e justificar.
- A expressão
é bem definida para todo . - A equação original exigiu divisão por
, portanto é um ponto singular e a solução não pode ser estendida de forma contínua através de sem análise adicional. - Como a condição inicial está em
, o maior intervalo contendo onde a solução é válida e única é
- (Existe outra família de soluções válida em
, mas não contém , portanto não é relevante para o problema com a condição inicial dada.)