resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
x(x+1) \frac{d y}{d x}+x y=1, \quad y(e)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
x(x+1)\frac{dy}{dx}+xy=1,\qquad y(\mathrm{e})=1.
O que pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
  • Determinar o maior intervalo I onde essa solução está definida (e que contém o ponto inicial x=\mathrm{e}).
Informações relevantes do enunciado:
  • A equação envolve os fatores x e x+1 multiplicando y' — isso indica possíveis pontos singulares em x=0 e x=-1.
  • A condição inicial é dada em x=\mathrm{e}>0, portanto a solução procurada deve existir em um intervalo que contenha esse ponto.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro dividimos por x(x+1) (válido enquanto x\neq0 e x\neq-1):
\frac{dy}{dx}+\frac{x}{x(x+1)}y=\frac{1}{x(x+1)}.
Simplificando o coeficiente de y:
\frac{x}{x(x+1)}=\frac{1}{x+1}.
Logo a equação em forma padrão é
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x+1}\,y=\frac{1}{x(x+1)}.
Aqui a equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) com P(x)=\dfrac{1}{x+1} e Q(x)=\dfrac{1}{x(x+1)}.

Passo 3

Explicar o método do fator integrante (integrating factor) para equações lineares de primeira ordem:
  • Para \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x), o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
  • Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda vira a derivada de \mu(x) y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big)=\mu(x)Q(x).
Calculemos \mu(x) aqui. Temos
\mu(x)=\exp\!\left(\int\frac{1}{x+1}\,dx\right)=\exp\!\big(\ln|x+1|\big)=|x+1|.
Como estamos interessados em um intervalo contendo x=\mathrm{e}>0, nesse intervalo x+1>0, logo podemos usar simplesmente \mu(x)=x+1 (o sinal absoluto não é relevante quando fixamos o ramo do intervalo).

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=x+1. A equação original (na forma padrão) multiplica-se por x+1:
(x+1)\frac{dy}{dx}+\frac{x+1}{x+1}y=(x+1)\frac{1}{x(x+1)}.
Simplificando,
(x+1)\frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{x}.
Reconhece-se a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big((x+1)y\big)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
(x+1)y=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração. Portanto a solução geral é
y(x)=\frac{\ln|x|+C}{x+1},\qquad (x\neq0,\; x\neq-1).

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(\mathrm{e})=1 para determinar C. Como \mathrm{e}>0 temos \ln|\mathrm{e}|=\ln\mathrm{e}=1. Substituindo:
1=y(\mathrm{e})=\frac{\ln\mathrm{e}+C}{\mathrm{e}+1}=\frac{1+C}{\mathrm{e}+1}.
Multiplicando ambos os lados por \mathrm{e}+1:
\mathrm{e}+1=1+C \quad\Rightarrow\quad C=\mathrm{e}.
Logo a solução particular é
y(x)=\frac{\ln|x|+\mathrm{e}}{x+1}.
No intervalo que contém \mathrm{e} (ou seja, para x>0) podemos escrever sem o valor absoluto:
y(x)=\frac{\ln x+\mathrm{e}}{x+1},\qquad x>0.

Passo 7

Determinar o maior intervalo I onde a solução está definida e contém x=\mathrm{e}.
  • A equação original tinha fator x(x+1) multiplicando y', portanto é singular em x=0 e x=-1; não é possível dividir por x(x+1) nesses pontos.
  • A expressão encontrada para y(x) também exige x\neq0 (pela \ln|x|) e x\neq-1 (denominador x+1).
  • Como a condição inicial está em x=\mathrm{e}>0, o maior intervalo aberto que contém \mathrm{e} e não atravessa nenhum ponto singular é
I=(0,\infty).
Portanto a solução válida e única com a condição inicial dada está definida para todo x em (0,\infty).

Resposta

y(x)=\dfrac{\ln x+\mathrm{e}}{x+1} para x>0.
I=(0,\infty)

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