resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que pede:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. - Determinar o maior intervalo
onde essa solução está definida (e que contém o ponto inicial ).
Informações relevantes do enunciado:
- A equação envolve os fatores
e multiplicando — isso indica possíveis pontos singulares em e . - A condição inicial é dada em
, portanto a solução procurada deve existir em um intervalo que contenha esse ponto.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Primeiro dividimos por
(válido enquanto
e
):
Simplificando o coeficiente de
:
Logo a equação em forma padrão é
Aqui a equação tem a forma
com
e
.
Passo 3
Explicar o método do fator integrante (integrating factor) para equações lineares de primeira ordem:
- Para
, o fator integrante é
- Multiplicando a equação por
a esquerda vira a derivada de :
Calculemos
aqui. Temos
Como estamos interessados em um intervalo contendo
, nesse intervalo
, logo podemos usar simplesmente
(o sinal absoluto não é relevante quando fixamos o ramo do intervalo).
Passo 4
Multiplicar a equação por
. A equação original (na forma padrão) multiplica-se por
:
Simplificando,
Reconhece-se a derivada do produto:
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Portanto a solução geral é
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Como
temos
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Logo a solução particular é
No intervalo que contém
(ou seja, para
) podemos escrever sem o valor absoluto:
Passo 7
Determinar o maior intervalo
onde a solução está definida e contém
.
- A equação original tinha fator
multiplicando , portanto é singular em e ; não é possível dividir por nesses pontos. - A expressão encontrada para
também exige (pela ) e (denominador ). - Como a condição inicial está em
, o maior intervalo aberto que contém e não atravessa nenhum ponto singular é
Portanto a solução válida e única com a condição inicial dada está definida para todo
em
.