resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaça a condição inicial. - Determinar o maior intervalo
onde essa solução está definida.
Informações relevantes dadas:
- Coeficiente do termo
é . - Termo independente é
. - Condição inicial no ponto
: .
Passo 2
Escolha do método: trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
Aqui
e
. O método mais direto e ensinado primeiro para esse tipo de equação é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o porquê e como funciona.
Breve aula sobre fator integrante:
- Para
, define-se o fator integrante . - Multiplicando a equação por
obtemos uma forma exata: . - Então integra-se ambos os lados e resolve-se para
.
Aplicando ao nosso caso, primeiro calculamos
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Como
,
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, isto é,
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
:
Agora preciso calcular a integral
. Faço uma substituição para simplificar e depois uma integração por partes.
Substituição: seja
. Então
, ou
. Observe que
. Portanto
Agora integramos
por partes. Tome
,
. Então
,
. Assim
Multiplicando por
voltamos à variável
:
Passo 5
Substituindo essa primitiva na expressão para
, obtemos
Fatorando
no lado direito:
Agora dividimos por
para isolar
:
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Em
temos
e
, então
Igualando a
,
Portanto a solução particular é
Também se pode escrever, fatorando
,
Passo 7
Determinar o maior intervalo
onde a solução está definida.
Explicação teórica curta: para a equação linear
, se
e
são contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial, então existe uma única solução definida em todo esse intervalo (teorema de existência e unicidade para ODEs lineares). No nosso caso
e
são funções polinomiais ou exponenciais combinadas — portanto são contínuas (na verdade infinitamente diferenciáveis) em todo
. Assim a solução que encontramos está definida para todo
.
Conclusão: o maior intervalo de existência é
.