resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
y^{\prime}+4 x y=x^{3} e^{x^{2}}, \quad y(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
y' + 4x\,y = x^{3} e^{x^{2}},\qquad y(0)=-1.
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaça a condição inicial.
  • Determinar o maior intervalo I onde essa solução está definida.
Informações relevantes dadas:
  • Coeficiente do termo y é 4x.
  • Termo independente é x^{3}e^{x^{2}}.
  • Condição inicial no ponto x=0: y(0)=-1.

Passo 2

Escolha do método: trata-se de uma equação linear de primeira ordem no formato padrão
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui p(x)=4x e q(x)=x^{3}e^{x^{2}}. O método mais direto e ensinado primeiro para esse tipo de equação é o fator integrante (integrating factor). Vou explicar o porquê e como funciona.
Breve aula sobre fator integrante:
  • Para \,y'+p(x)y=q(x)\,, define-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos uma forma exata: (\mu y)'=\mu q(x).
  • Então integra-se ambos os lados e resolve-se para y.
Aplicando ao nosso caso, primeiro calculamos \mu(x).

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Como p(x)=4x,
\mu(x)=e^{\int 4x\,dx}=e^{2x^{2}}.
Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{2x^{2}} y' + 4x e^{2x^{2}} y = x^{3} e^{x^{2}} e^{2x^{2}}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{2x^{2}}y, isto é,
\bigl(e^{2x^{2}} y\bigr)' = x^{3} e^{3x^{2}}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
e^{2x^{2}} y = \int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx + C.
Agora preciso calcular a integral \int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx. Faço uma substituição para simplificar e depois uma integração por partes.
Substituição: seja t=x^{2}. Então dt=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{dt}{2}. Observe que x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = t\cdot \dfrac{dt}{2}. Portanto
\int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int t e^{3t}\,dt.
Agora integramos \int t e^{3t}\,dt por partes. Tome u=t, dv=e^{3t}dt. Então du=dt, v=\dfrac{1}{3}e^{3t}. Assim
\int t e^{3t}\,dt = \frac{1}{3} t e^{3t} - \int \frac{1}{3} e^{3t}\,dt = \frac{1}{3} t e^{3t} - \frac{1}{9} e^{3t} + C.
Multiplicando por \tfrac{1}{2} voltamos à variável x:
\int x^{3} e^{3x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3} x^{2} e^{3x^{2}} - \frac{1}{9} e^{3x^{2}}\right) + C = \frac{1}{6} x^{2} e^{3x^{2}} - \frac{1}{18} e^{3x^{2}} + C.

Passo 5

Substituindo essa primitiva na expressão para e^{2x^{2}}y, obtemos
e^{2x^{2}} y = \frac{1}{6} x^{2} e^{3x^{2}} - \frac{1}{18} e^{3x^{2}} + C.
Fatorando e^{3x^{2}} no lado direito:
e^{2x^{2}} y = e^{3x^{2}}\left(\frac{1}{6}x^{2} - \frac{1}{18}\right) + C = e^{3x^{2}}\frac{3x^{2}-1}{18} + C.
Agora dividimos por e^{2x^{2}} para isolar y:
y(x) = e^{x^{2}}\frac{3x^{2}-1}{18} + C e^{-2x^{2}}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=-1 para determinar C. Em x=0 temos e^{0}=1 e x^{2}=0, então
y(0) = \frac{3\cdot 0 -1}{18} + C\cdot 1 = -\frac{1}{18} + C.
Igualando a -1,
-\frac{1}{18} + C = -1 \quad\Rightarrow\quad C = -1 + \frac{1}{18} = -\frac{17}{18}.
Portanto a solução particular é
y(x) = e^{x^{2}}\frac{3x^{2}-1}{18} - \frac{17}{18} e^{-2x^{2}}.
Também se pode escrever, fatorando \tfrac{1}{18},
y(x)=\frac{1}{18}\Bigl((3x^{2}-1)e^{x^{2}} - 17 e^{-2x^{2}}\Bigr).

Passo 7

Determinar o maior intervalo I onde a solução está definida.
Explicação teórica curta: para a equação linear \,y'+p(x)y=q(x)\,, se p e q são contínuas em um intervalo que contém o ponto inicial, então existe uma única solução definida em todo esse intervalo (teorema de existência e unicidade para ODEs lineares). No nosso caso p(x)=4x e q(x)=x^{3}e^{x^{2}} são funções polinomiais ou exponenciais combinadas — portanto são contínuas (na verdade infinitamente diferenciáveis) em todo \mathbb{R}. Assim a solução que encontramos está definida para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão: o maior intervalo de existência é I=(-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{18}\bigl((3x^{2}-1)e^{x^{2}} - 17 e^{-2x^{2}}\bigr)\n
I=(-\infty,\infty)

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