Encontre a solução geral do sistema de equações:
3) t x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}-1 & -1 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) x, t>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema
t\,x' = A\,x,\quad A = \begin{pmatrix}-1 & -1\\[6pt]2 & -1\end{pmatrix},\quad t>0.
Este é um sistema linear não-autônomo do tipo x'= \tfrac1t A\,x. Para resolvê-lo vamos usar a fórmula
x(t)=\exp\Bigl(\int \tfrac1tA\,dt\Bigr)C =\exp\bigl(A\ln t\bigr)\,C,
onde C\in\mathbb R^2 é o vetor de constantes arbitrárias.]

Passo 2

Precisamos calcular \exp\bigl(A\ln t\bigr). Note que podemos decompor
A = -I + J, \quad J = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
Verifique que
J^2 = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix} = -2\,I.]

Passo 3

Usando a propriedade de matrizes com bloco de rotação, temos
\exp\bigl(A\ln t\bigr) =\exp\bigl((-I+J)\ln t\bigr) =\exp(-\ln t\,I)\,\exp(J\ln t) =t^{-1}\,\exp(J\ln t).
E como J^2=-2I, a série de e^{J\ln t} resulta em
\exp(J\ln t) =I\cos\bigl(\sqrt2\,\ln t\bigr) +\frac{J}{\sqrt2}\,\sin\bigl(\sqrt2\,\ln t\bigr).

Passo 4

Assim a matriz de transição é
\Phi(t)=\exp\bigl(A\ln t\bigr) =t^{-1}\Bigl[I\cos(\sqrt2\ln t) +\tfrac{1}{\sqrt2}\,J\,\sin(\sqrt2\ln t)\Bigr].
Logo a solução geral fica
x(t)=\Phi(t)\,C, \quad C=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevendo componente a componente, com \theta=\sqrt2\ln t, temos
x(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\\[4pt]x_2(t) \end{pmatrix} =t^{-1} \begin{pmatrix} c_1\cos\theta - \tfrac{c_2}{\sqrt2}\,\sin\theta\\[6pt] c_2\cos\theta + \tfrac{2\,c_1}{\sqrt2}\,\sin\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^{-1}\bigl(c_1\cos(\sqrt2\ln t)-\tfrac{c_2}{\sqrt2}\sin(\sqrt2\ln t)\bigr)\\[8pt] t^{-1}\bigl(c_2\cos(\sqrt2\ln t)+\sqrt2\,c_1\sin(\sqrt2\ln t)\bigr) \end{pmatrix}.]

Resposta

A solução geral é
x(t)=t^{-1}\Bigl[I\cos(\sqrt2\ln t) +\tfrac{1}{\sqrt2}J\,\sin(\sqrt2\ln t)\Bigr] \begin{pmatrix}c_1\c_2\end{pmatrix},
ou explicitamente
x_1(t) =t^{-1}\Bigl(c_1\cos(\sqrt2\ln t)-\tfrac{c_2}{\sqrt2}\sin(\sqrt2\ln t)\Bigr), \quad x_2(t) =t^{-1}\Bigl(c_2\cos(\sqrt2\ln t)+\sqrt2\,c_1\sin(\sqrt2\ln t)\Bigr).

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