Resolva o problema de valor inicial dado:
4) X^prime=(ll1 & -5 1 & -3) X, X(0)=binom11

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de equações diferenciais
X' = A,X, A = 1 & -5 1 & -3, X(0) = 11
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares com coeficientes constantes, que fazemos encontrando os autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Primeiro, calculemos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!1-lambda & -5 1 & -3-lambda = (1-lambda)(-3-lambda) - (-5) = lambda^2 + 2lambda + 2
As raízes são
lambda = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i

Passo 3

Escolhemos lambda = -1 + i e achamos um autovetor não nulo v tal que (A - lambda I)v=0.
(A - lambda I) = 2 - i & -5 1 & -2 - i Longrightarrow (2 - i)x - 5y = 0 ;Rightarrow; x = 52 - i,y = (2 + i),y
Podemos tomar
v = 2 + i 1

Passo 4

A solução geral complexa é
X(t) = C,e^(-1 + i)t,v + C,e^(-1 + i)t,v
Para extrair a parte real, escrevemos
e^(-1+i)tv = e^-t,l(underbraceU(t)Re + i,underbraceW(t)Imr),
once uma conta rápida mostra
U(t) = 2cos t - sin t cos t, W(t) = 2sin t + cos t sin t
Logo a solução real geral é
X(t) = e^-tl(alpha,U(t) + beta,W(t)r),
com alpha,beta constantes reais.

Passo 5

Em
logo .

Passo 6

Substituindo alpha=1, beta=-1 em X(t)=e^-t(U(t)-W(t)) e simplificando, obtemos
X(t) = e^-t (2cos t - sin t) - (2sin t + cos t) cos t - sin t = e^-t cos t - 3sin t cos t - sin t

Resposta

X(t) = e^-t cos t - 3,sin t[6pt] cos t - sin t
]

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