Resolva o problema de valor inicial dado:
4)
4)
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear de equações diferenciais
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares com coeficientes constantes, que fazemos encontrando os autovalores e autovetores de
A .
Passo 2
Primeiro, calculemos o polinômio característico de
A :
As raízes são
Passo 3
Escolhemos
lambda = -1 + i e achamos um autovetor não nulo
v tal que
(A - lambda I)v=0 .
Podemos tomar
Passo 4
A solução geral complexa é
Para extrair a parte real, escrevemos
once uma conta rápida mostra
Logo a solução real geral é
com
alpha,beta constantes reais.
Passo 5
Em
logo .
Passo 6
Substituindo
alpha=1 ,
beta=-1 em
X(t)=e^-t(U(t)-W(t)) e simplificando, obtemos
Resposta
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