Em cada um dos seguintes problemas, encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma implícita
x d x+y e^{-x} d y=0, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial dado em forma implícita para a equação
x\,dx + y e^{-x}\,dy = 0,
com a condição inicial
y(0)=1.
Informações fornecidas: a equação diferencial escrita em diferenciais dx,dy e a condição inicial num ponto x=0. A resposta final deve ser uma relação implícita entre x e y que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Observação útil: queremos transformar a equação em uma forma em que as variáveis x e y fiquem separadas (cada uma em um lado), porque daí podemos integrar diretamente. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por e^{x}. Isso é válido porque e^{x}>0 para todo x (logo nunca estamos multiplicando por zero). Fazendo isso obtemos:
e^{x}\,x\,dx + e^{x}\,y e^{-x}\,dy = 0.
Como e^{x}\cdot e^{-x}=1, a equação simplifica para
y\,dy = - x e^{x}\,dx.
Agora está separada: o lado esquerdo depende só de y, o direito só de x.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Escrevendo a integração:
\int y\,dy = \int - x e^{x}\,dx.
A integral à esquerda é simples; a da direita precisa de uma técnica (integração por partes).

Passo 4

Breve aula de integração por partes: a fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Para \int x e^{x}\,dx escolhemos u=x (logo du=dx) e dv=e^{x}dx (logo v=e^{x}). Aplicando,
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Portanto
\int - x e^{x}\,dx = -\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) + C = -x e^{x} + e^{x} + C.

Passo 5

Voltando à igualdade das integrais temos
\frac{y^{2}}{2} = -x e^{x} + e^{x} + C.
Multiplicando por 2 para limpar a fração e renomeando a constante ( C'=2C),
y^{2} = -2 x e^{x} + 2 e^{x} + C'.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em y^{2} = -2 x e^{x} + 2 e^{x} + C' obtemos
1^{2} = -2\cdot 0\cdot e^{0} + 2 e^{0} + C' \quad\Rightarrow\quad 1 = 2 + C'.
Logo C' = -1. Substituindo em seguida, a solução implícita fica
y^{2} = -2 x e^{x} + 2 e^{x} - 1.
Podemos também escrever de forma fatorada:
y^{2} = 2 e^{x}(1 - x) - 1.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas boa para prova): derivando implicitamente y^{2} = -2 x e^{x} + 2 e^{x} - 1 obtemos
2 y y' = -2 x e^{x},
ou seja y y' = - x e^{x}. Reescrevendo em diferenciais dá y\,dy = - x e^{x}\,dx e voltamos à equação separada vista antes; ao dividir por e^{x} recuperamos exatamente x\,dx + y e^{-x}\,dy = 0. Assim a solução é consistente com a equação original e com y(0)=1.

Resposta

y^{2} = -2x e^{x} + 2 e^{x} - 1

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