Em cada um dos seguintes problemas, encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma implícita
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução do problema de valor inicial dado em forma implícita para a equação
com a condição inicial
Informações fornecidas: a equação diferencial escrita em diferenciais
e a condição inicial num ponto
. A resposta final deve ser uma relação implícita entre
e
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Observação útil: queremos transformar a equação em uma forma em que as variáveis
e
fiquem separadas (cada uma em um lado), porque daí podemos integrar diretamente. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
. Isso é válido porque
para todo
(logo nunca estamos multiplicando por zero). Fazendo isso obtemos:
Como
, a equação simplifica para
Agora está separada: o lado esquerdo depende só de
, o direito só de
.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Escrevendo a integração:
A integral à esquerda é simples; a da direita precisa de uma técnica (integração por partes).
Passo 4
Breve aula de integração por partes: a fórmula é
Para
escolhemos
(logo
) e
(logo
). Aplicando,
Portanto
Passo 5
Voltando à igualdade das integrais temos
Multiplicando por
para limpar a fração e renomeando a constante (
),
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
e
em
obtemos
Logo
. Substituindo em seguida, a solução implícita fica
Podemos também escrever de forma fatorada:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas boa para prova): derivando implicitamente
obtemos
ou seja
. Reescrevendo em diferenciais dá
e voltamos à equação separada vista antes; ao dividir por
recuperamos exatamente
. Assim a solução é consistente com a equação original e com
.