Resolva o problema de valor inicial dado.
15 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0 ;\quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
15y'' - 2y' + 4y = 0
com as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0. Vamos usar a equação característica para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^{rt}:
15r^2 - 2r + 4 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot15\cdot4 = 4 - 240 = -236,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{2 \pm i\sqrt{236}}{30} = \frac{1}{15} \pm i\,\frac{\sqrt{59}}{15}.

Passo 3

Como r = \alpha \pm i\beta com \alpha = \tfrac{1}{15} e \beta = \tfrac{\sqrt{59}}{15}, a solução geral é
y(t) = e^{\alpha t}\bigl(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\bigr).

Passo 4

Aplicamos y(0)=2:
y(0) = C_1 = 2.
Agora derivamos:
y'(t) = \alpha e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t) + e^{\alpha t}(-C_1\beta\sin\beta t + C_2\beta\cos\beta t).
Em t=0 isso dá
y'(0) = \alpha C_1 + \beta C_2 = 0 \;\Longrightarrow\; C_2 = -\frac{\alpha C_1}{\beta} = -\frac{1/15}{\sqrt{59}/15}\cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{59}}.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, obtemos
y(t) = e^{t/15}\Bigl(2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{59}}{15}t\bigr) - \frac{2}{\sqrt{59}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{59}}{15}t\bigr)\Bigr).

Resposta

y(t) = e^{t/15}\Bigl(2\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{59}}{15}t\bigr) - \frac{2}{\sqrt{59}}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{59}}{15}t\bigr)\Bigr).

Exercícios relacionados