Resolva o problema de valor inicial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de valor inicial onde a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é dada por $ y’ = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} $ e sabemos que quando $ x = 1 $, $ y(1) = \frac{3}{2} $. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e integração. Para resolver, vamos precisar integrar a expressão da derivada e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação $ y’ = \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}} $ nos diz. Aqui, $ y’ $ representa a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Para achar $ y $, precisamos integrar essa expressão em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
Integral de $ \frac{1}{x^{2}} $:
Integral de $ \frac{1}{x^{3}} $:
Passo 4
Juntando as integrais, temos:
Onde $ C = C_1 + C_2 $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial $ y(1) = \frac{3}{2} $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Comparando com as alternativas fornecidas, essa expressão não está listada. Portanto, a resposta correta é:
Nenhuma das demais alternativas