Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
.
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Temos liberdade para usar substituição ou outras primitivas conhecidas.
- Precisamos apresentar a primitiva (a antiderivada) e a constante de integração
.
Observação sobre domínio:está definida, em , para . Vamos trabalhar assumindo .
Passo 2
Ideia principal (intuição): a derivada de
em relação a
é
. Isso sugere que podemos tentar uma substituição simples onde a nova variável seja
. Vou explicar com calma o porquê isso funciona e como aplicar.
Regra de substituição que vamos usar: se temos uma integral da forma e sabemos relacionar
com
por uma substituição
, então podemos reescrever a integral original em termos de
. Aqui escolhemos
Regra de substituição que vamos usar: se temos uma integral da forma
Agora calculamos
. Como
, temos
Repare que
é exatamente a parte que multiplica
na integral original.
Passo 3
Substituímos na integral original: como
e
, obtemos
Essa integral é direta: a primitiva de
em relação a
é
. Portanto
Passo 4
Voltando à variável
(dessubstituição), substituímos
e obtemos a primitiva da integral original:
Observação útil: se você preferir, pode também escrever
e decompor a integral em
. Fazendo a substituição
na segunda integral obtém-se
; combinando tudo aparece a mesma primitiva, até uma constante que é absorvida por
.
Comentário final e incentivo: o truque aqui é reconhecer que a expressão é exatamente o diferencial de
, o que torna a substituição direta e rápida. Boa! Você já pode fazer essa integral na prova sem medo — só lembrar da substituição
.
Comentário final e incentivo: o truque aqui é reconhecer que a expressão