Calcule as seguintes integrais utilizando as primitivas que conhece e os métodos de substitu ção e partes:
\int \frac{\ln (3 x)}{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int \frac{\ln(3x)}{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{\ln(3x)}{x}.
  • Temos liberdade para usar substituição ou outras primitivas conhecidas.
  • Precisamos apresentar a primitiva (a antiderivada) e a constante de integração C.
    Observação sobre domínio: \ln(3x) está definida, em \mathbb{R}, para x>0. Vamos trabalhar assumindo x>0.

Passo 2

Ideia principal (intuição): a derivada de \ln(3x) em relação a x é \dfrac{1}{x}. Isso sugere que podemos tentar uma substituição simples onde a nova variável seja u=\ln(3x). Vou explicar com calma o porquê isso funciona e como aplicar.
Regra de substituição que vamos usar: se temos uma integral da forma \int f(u)\,du e sabemos relacionar du com dx por uma substituição u=g(x), então podemos reescrever a integral original em termos de u. Aqui escolhemos
u=\ln(3x).
Agora calculamos du. Como \dfrac{d}{dx}\ln(3x)=\dfrac{1}{x}, temos
du=\frac{1}{x}\,dx.
Repare que \dfrac{1}{x}\,dx é exatamente a parte que multiplica \ln(3x) na integral original.

Passo 3

Substituímos na integral original: como u=\ln(3x) e du=\dfrac{1}{x}\,dx, obtemos
\int \frac{\ln(3x)}{x}\,dx = \int u\,du.
Essa integral é direta: a primitiva de u em relação a u é \dfrac{u^2}{2}. Portanto
\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x (dessubstituição), substituímos u=\ln(3x) e obtemos a primitiva da integral original:
\frac{u^2}{2}+C = \frac{\bigl(\ln(3x)\bigr)^2}{2} + C.
Observação útil: se você preferir, pode também escrever \ln(3x)=\ln 3 + \ln x e decompor a integral em \ln 3\int \dfrac{1}{x}\,dx + \int \dfrac{\ln x}{x}\,dx. Fazendo a substituição t=\ln x na segunda integral obtém-se \dfrac{(\ln x)^2}{2}; combinando tudo aparece a mesma primitiva, até uma constante que é absorvida por C.
Comentário final e incentivo: o truque aqui é reconhecer que a expressão \dfrac{1}{x}\,dx é exatamente o diferencial de \ln(3x), o que torna a substituição direta e rápida. Boa! Você já pode fazer essa integral na prova sem medo — só lembrar da substituição u=\ln(3x).

Resposta

\frac{\bigl(\ln(3x)\bigr)^2}{2} + C

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