Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e verifica a condição inicial dada.
Passo 2
Escolha do método. A equação está escrita de forma que o lado direito é um produto (ou quociente) de uma função de
e uma função de
. Isso permite usar o método de separação de variáveis, que é um dos métodos mais básicos e diretos para equações do tipo
Aqui podemos reescrever o membro direito como
com
e
. Então usaremos separação de variáveis porque é simples e suficiente.
Passo 3
Separar as variáveis
e
em lados opostos da igualdade. Partindo de
coloca-se todos os termos contendo
junto a
e os termos contendo
junto a
. Fazendo isto obtemos
Comentário rápido sobre por que isso é válido: multiplicou-se ambos os lados por
(assumindo
no processo), o que é a operação padrão em separação de variáveis.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Agora que as variáveis estão separadas, integramos:
Explicando as integrais usadas:
-
. Isso vem da primitiva do , que é o logaritmo natural do valor absoluto de . -
. Mesma ideia, é uma tradução da regra com .
Colocando os resultados e juntando as constantes numa só (
), obtemos
Passo 5
Resolver a igualdade envolvendo logaritmos. Aplique exponenciação em ambos os lados:
Denotando
, temos
. Podemos então escrever a solução geral como
onde
é uma constante arbitrária (podendo ser zero ou negativa — a notação
aqui já incorpora o sinal que poderia aparecer ao remover o valor absoluto).
Observação sobre o caso
: ele corresponde a
e é uma solução válida da equação diferencial homogênea, mas será excluída pela condição inicial abaixo.
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante. A condição é
. Substituindo
na solução geral
dá
Portanto
e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Verificação rápida (para dar segurança): calcular
e checar se a equação é satisfeita. Da solução
temos
O lado direito da equação original é
. Como os dois lados coincidem, a solução está correta e também satisfaz
.