Resolva o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+1}, \quad y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
  • Equação diferencial: \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+1}.
  • Condição inicial: y(0)=2.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e verifica a condição inicial dada.

Passo 2

Escolha do método. A equação está escrita de forma que o lado direito é um produto (ou quociente) de uma função de y e uma função de x. Isso permite usar o método de separação de variáveis, que é um dos métodos mais básicos e diretos para equações do tipo
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y).
Aqui podemos reescrever o membro direito como \dfrac{y}{x+1}=h(y)\,g(x) com h(y)=y e g(x)=\dfrac{1}{x+1}. Então usaremos separação de variáveis porque é simples e suficiente.

Passo 3

Separar as variáveis y e x em lados opostos da igualdade. Partindo de
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x+1},
coloca-se todos os termos contendo y junto a dy e os termos contendo x junto a dx. Fazendo isto obtemos
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x+1}\,dx.
Comentário rápido sobre por que isso é válido: multiplicou-se ambos os lados por \dfrac{dx}{y} (assumindo y\neq0 no processo), o que é a operação padrão em separação de variáveis.

Passo 4

Integrar ambos os lados. Agora que as variáveis estão separadas, integramos:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x+1}\,dx.
Explicando as integrais usadas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1. Isso vem da primitiva do 1/y, que é o logaritmo natural do valor absoluto de y.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C_2. Mesma ideia, é uma tradução da regra \int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C com u=x+1.
Colocando os resultados e juntando as constantes numa só ( C=C_2-C_1 ), obtemos
\ln|y|=\ln|x+1|+C.

Passo 5

Resolver a igualdade envolvendo logaritmos. Aplique exponenciação em ambos os lados:
|y|=e^{C}\,|x+1|.
Denotando A=e^{C}>0, temos |y|=A\,|x+1|. Podemos então escrever a solução geral como
y=C_1(x+1),
onde C_1 é uma constante arbitrária (podendo ser zero ou negativa — a notação C_1 aqui já incorpora o sinal que poderia aparecer ao remover o valor absoluto).
Observação sobre o caso y\equiv0: ele corresponde a C_1=0 e é uma solução válida da equação diferencial homogênea, mas será excluída pela condição inicial abaixo.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante. A condição é y(0)=2. Substituindo x=0 na solução geral y=C_1(x+1)
y(0)=C_1(0+1)=C_1=2.
Portanto C_1=2 e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(x)=2(x+1).

Passo 7

Verificação rápida (para dar segurança): calcular \dfrac{dy}{dx} e checar se a equação é satisfeita. Da solução y(x)=2(x+1)=2x+2 temos
\frac{dy}{dx}=2.
O lado direito da equação original é \dfrac{y}{x+1}=\dfrac{2x+2}{x+1}=2. Como os dois lados coincidem, a solução está correta e também satisfaz y(0)=2.

Resposta

y(x)=2(x+1)=2x+2

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