Resolva:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
. Informação importante: a equação contém termos com
, portanto
. Nada mais é pedido explicitamente.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde, comparando com a equação dada, temos
Essa forma padrão é útil porque existe um procedimento sistemático (fator integrante) para resolver esse tipo de equação.
Passo 3
Apresentar e justificar o fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Queremos
satisfazendo
e, ao comparar com
vezes a equação original, precisamos de
. Isso leva à equação
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula do fator integrante:
Passo 4
Calcular o fator integrante para
:
Para trabalhar de forma simples, escolhe-se
(isso corresponde ao caso
; se
pode-se usar
, e a diferença de sinal será absorvida pela constante de integração
). Em todo caso, a solução valerá para
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
:
Simplificando,
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, pois
Passo 6
Reescrever a equação como uma derivada total e integrar:
Integrando ambos os lados em relação a
,
Isso dá
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 7
Isolar
para obter a solução geral:
com
constante real.
Passo 8
(Observação didática alternativa — método de coeficientes indeterminados) Podemos também obter a mesma solução vendo que a equação homogênea associada é
cuja solução geral é
. Procurando uma solução particular polinomial do tipo
, calcula-se
e substitui:
Logo
e a solução geral é
, igual ao obtido acima.
Passo 9
(Verificação rápida) Diferenciando
obtém-se
Substituindo na equação original:
confirmando que a solução está correta.