Resolva:
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x^{2}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x}y=x^{2},
e pede encontrar a solução geral y(x). Informação importante: a equação contém termos com \frac{1}{x}, portanto x\neq0. Nada mais é pedido explicitamente.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
onde, comparando com a equação dada, temos
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x^{2}.
Essa forma padrão é útil porque existe um procedimento sistemático (fator integrante) para resolver esse tipo de equação.

Passo 3

Apresentar e justificar o fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Queremos \mu satisfazendo
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y,
e, ao comparar com \mu vezes a equação original, precisamos de \mu'=\mu P. Isso leva à equação
\frac{\mu'}{\mu}=P(x).
Integrando ambos os lados obtemos a fórmula do fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).

Passo 4

Calcular o fator integrante para P(x)=\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(\ln|x|\big)=|x|.
Para trabalhar de forma simples, escolhe-se \mu(x)=x (isso corresponde ao caso x>0; se x<0 pode-se usar \mu(x)=-x, e a diferença de sinal será absorvida pela constante de integração C). Em todo caso, a solução valerá para x\neq0.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=x:
x\frac{dy}{dx}+\frac{x}{x}y = x\cdot x^{2}.
Simplificando,
x\frac{dy}{dx}+y=x^{3}.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é exatamente a derivada de \,x y, pois
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\frac{dy}{dx}+y.

Passo 6

Reescrever a equação como uma derivada total e integrar:
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x^{3}.
Integrando ambos os lados em relação a x,
\int \frac{d}{dx}\big(xy\big)\,dx=\int x^{3}\,dx.
Isso dá
x y=\frac{x^{4}}{4}+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 7

Isolar y para obter a solução geral:
y=\frac{x^{4}}{4x}+\frac{C}{x}=\frac{x^{3}}{4}+\frac{C}{x},\qquad x\neq0,
com C constante real.

Passo 8

(Observação didática alternativa — método de coeficientes indeterminados) Podemos também obter a mesma solução vendo que a equação homogênea associada é
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=0,
cuja solução geral é y_{h}=\dfrac{C}{x}. Procurando uma solução particular polinomial do tipo y_{p}=k x^{3}, calcula-se \dfrac{dy_{p}}{dx}=3k x^{2} e substitui:
3k x^{2}+\frac{1}{x}\cdot k x^{3}=4k x^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad k=\frac{1}{4}.
Logo y_{p}=\dfrac{x^{3}}{4} e a solução geral é y=y_{p}+y_{h}=\dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac{C}{x}, igual ao obtido acima.

Passo 9

(Verificação rápida) Diferenciando y=\dfrac{x^{3}}{4}+\dfrac{C}{x} obtém-se
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{4}-\frac{C}{x^{2}}.
Substituindo na equação original:
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=\left(\frac{3x^{2}}{4}-\frac{C}{x^{2}}\right)+\frac{1}{x}\left(\frac{x^{3}}{4}+\frac{C}{x}\right) =\frac{3x^{2}}{4}-\frac{C}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{C}{x^{2}}=x^{2},
confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{x^{3}}{4}+\frac{C}{x},\qquad x\neq0,\; C\in\mathbb{R}

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