A seguinte equação modela a o deslocamento de uma corda fixa nas extremidades cujas vibrações verticais ocorrem em um ambiente que oferece resitência proporcional à velocidade instantânea
partial^2 upartial x^2=partial^2 upartial t^2+2 beta partial upartial t
para 00. Encontre o deslocamento u(x, t), supondo que a posição inicial da corda é f(x) e a velocidade inicial é 0 .

Passo 1

Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que descreve o deslocamento partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2 + 2 beta partial upartial t de uma corda fixa nas extremidades, considerando vibrações verticais em um ambiente com resistência proporcional à velocidade instantânea. A equação dada é:
Aqui, , e . Além disso, sabemos que a posição inicial da corda é e que a velocidade inicial é zero. Para resolver essa equação, vamos utilizar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier, que nos ajudam a decompor a solução em componentes mais simples.

Passo 2

Vamos assumir que a solução u(x, t) = X(x) T(t) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de X''(x) T(t) = X(x) T''(t) + 2 beta X(x) T'(t) e outra que depende apenas de X''(x)X(x) = T''(t)T(t) + 2 beta T'(t)T(t) :
Substituindo essa forma na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de .

Passo 3

Agora, temos duas equações separadas:
  1. Para X''(x) + k^2 X(x) = 0 :
T''(t) + 2 beta T'(t) + k^2 T(t) = 0
  1. Para Xn(x) = sin(n x), n = 1, 2, 3, dots :
Vamos resolver cada uma dessas equações. Começamos com a equação de . As condições de contorno são , o que implica que . As soluções não triviais ocorrem quando , onde é um número inteiro positivo. Assim, a solução geral para é:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação para T''(t) + 2 beta T'(t) + n^2 T(t) = 0 :
r^2 + 2 beta r + n^2 = 0
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução depende das raízes da equação característica associada:
r = -2 beta pm raiz(2 beta)^2 - 4 n^22 = -beta pm raizbeta^2 - n^2
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 5

Observando as raízes, percebemos que para Tn(t) = e^-beta t ( Cn cos(omegan t) + Dn sin(omegan t) ) e omegan = raizn^2 - beta^2 , o discriminante é negativo. Isso significa que as raízes são complexas. Portanto, a solução geral para é:
onde:

Passo 6

Combinando as soluções de u(x, t) = sumn=1^infty e^-beta t ( An cos(omegan t) + Bn sin(omegan t) ) sin(n x) e , a solução geral para é:

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty An sin(n x) e 0 = sumn=1^infty ( -beta An + omegan Bn ) sin(n x) :
  1. Condição de posição inicial -beta An + omegan Bn = 0 Rightarrow Bn = betaomegan An :
Isso significa que são os coeficientes da série de Fourier da função .
  1. Condição de velocidade inicial :
Derivando em relação a e avaliando em :
Para que isso seja verdadeiro para todo , cada termo individual deve ser zero:

Passo 8

Substituindo u(x, t) = e^-beta t sumn=1^infty An ( cos(omegan t) + betaomegan sin(omegan t) ) sin(n x) na solução geral, obtemos:
An = 2pi integral0^pi f(x) sin(n x) , dx
Para determinar os coeficientes , usamos a série de Fourier da posição inicial :

Resposta

Assim, o deslocamento da corda é dado por:
u(x, t) = e^-beta t sumn=1^infty ( 2pi integral0^pi f(x) sin(n x) , dx ) ( cos(raizn^2 - beta^2, t,) + betaraizn^2 - beta^2 sin(raizn^2 - beta^2, t,) ) sin(n x)

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