A seguinte equação modela a o deslocamento de uma corda fixa nas extremidades cujas vibrações verticais ocorrem em um ambiente que oferece resitência proporcional à velocidade instantânea
para
. Encontre o deslocamento
, supondo que a posição inicial da corda é
e a velocidade inicial é 0 .
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação que descreve o deslocamento
de uma corda fixa nas extremidades, considerando vibrações verticais em um ambiente com resistência proporcional à velocidade instantânea. A equação dada é:
Aqui,
,
e
. Além disso, sabemos que a posição inicial da corda é
e que a velocidade inicial é zero. Para resolver essa equação, vamos utilizar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier, que nos ajudam a decompor a solução em componentes mais simples.
Passo 2
Vamos assumir que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo essa forma na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Como o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito apenas de
, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
.
Passo 3
Agora, temos duas equações separadas:
- Para
:
- Para
:
Vamos resolver cada uma dessas equações. Começamos com a equação de
. As condições de contorno são
, o que implica que
. As soluções não triviais ocorrem quando
, onde
é um número inteiro positivo. Assim, a solução geral para
é:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação para
:
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução depende das raízes da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 5
Observando as raízes, percebemos que para
e
, o discriminante
é negativo. Isso significa que as raízes são complexas. Portanto, a solução geral para
é:
onde:
Passo 6
Combinando as soluções de
e
, a solução geral para
é:
Passo 7
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes
e
:
- Condição de posição inicial
:
Isso significa que
são os coeficientes da série de Fourier da função
.
- Condição de velocidade inicial
:
Derivando
em relação a
e avaliando em
:
Para que isso seja verdadeiro para todo
, cada termo individual deve ser zero:
Passo 8
Substituindo
na solução geral, obtemos:
Para determinar os coeficientes
, usamos a série de Fourier da posição inicial
:
Resposta
Assim, o deslocamento da corda é dado por: