Resolva as equações diferenciais dada por separação de variável. dy/dx = (1 - 2y^2) / (y sec(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que pode ser resolvida separando as variáveis e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados por e por :
Agora, vamos reorganizar para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a parte de :
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Seja , então , o que implica . Substituindo na integral:
Agora, a parte de :
A integral da secante é conhecida:

Passo 4

Igualando as integrais:
Podemos simplificar a expressão multiplicando ambos os lados por -4:
Onde é uma nova constante de integração.

Passo 5

Para finalizar, podemos isolar . Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Simplificando a expressão:
Onde é uma constante.
Isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados