Resolva as equações diferenciais dada por separação de variável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando separação de variáveis. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial que pode ser resolvida separando as variáveis
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Podemos fazer isso multiplicando ambos os lados por
e por
:
Agora, vamos reorganizar para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, a parte de
:
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Seja
, então
, o que implica
. Substituindo na integral:
Agora, a parte de
:
A integral da secante é conhecida:
Passo 4
Igualando as integrais:
Podemos simplificar a expressão multiplicando ambos os lados por -4:
Onde
é uma nova constante de integração.
Passo 5
Para finalizar, podemos isolar
. Primeiro, exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Simplificando a expressão:
Onde
é uma constante.
Isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.