Resolva o problema de valor inicial:
l d xd t=6 x-2 y d yd t=5 x+3 y
com x(0)=1 e y(0)=-1.

Passo 1

O enunciado pede resolver o valor inicial do sistema de EDOs lineares de coeficientes constantes
dxdt=6x-2y, dydt=5x+3y,
com as condições x(0)=1 e y(0)=-1. O conteúdo aqui é sistemas lineares, autovalores e autovetores: vamos usar a teoria que diz que, para X'=AX, a solução geral se constrói a partir dos autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Formamos a matriz
A=6 & -25 & 3
e calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I)=(6-lambda)(3-lambda)+10=lambda^2-9lambda+28
Resolvendo lambda^2-9lambda+28=0 obtemos
lambda=9pm iraiz312=alphapm ibeta,alpha=92,,beta=raiz312

Passo 3

Para o autovalor lambda=alpha+ibeta resolvemos
$ (A-\lambda I)v=0 $ e encontramos um autovetor
(A-lambda I)v=0
com
v=13-iraiz314=a+ib, e a=13/4.
Da teoria, as duas soluções reais fundamentais são
b=0-tfracraiz314

Passo 4

A solução geral fica
X(t)=A,e^alpha t(acosbeta t - bsinbeta t)+B,e^alpha t(asinbeta t + bcosbeta t)
Em componentes:
x(t)=e^92tl(Acos(tfracraiz312t)+Bsin(tfracraiz312t)r),
y(t)=e^92tl[Al(tfrac34cos(tfracraiz312t)+tfracraiz314sin(tfracraiz312t)r)+Bl(tfrac34sin(tfracraiz312t)-tfracraiz314cos(tfracraiz312t)r)r]

Passo 5

Usando x(0)=1 e y(0)=-1: em t=0 temos
x(0)=A=1 e
y(0)=34A-raiz314B=-1
ou seja
34-raiz314B=-1 Rightarrow B=7raiz31
Assim A=1 e B=7/raiz31.

Resposta

As soluções explícitas são:
x(t)=e^92tl(cosl(tfracraiz312tr)+tfrac7raiz31sinl(tfracraiz312tr)r),
y(t)=e^92tl(-cosl(tfracraiz312tr)+tfrac13raiz31sinl(tfracraiz312tr)r)

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