Resolva o problema de valor inicial:
e
.
Passo 1
O enunciado pede resolver o valor inicial do sistema de EDOs lineares de coeficientes constantes
com as condições
e
. O conteúdo aqui é sistemas lineares, autovalores e autovetores: vamos usar a teoria que diz que, para
, a solução geral se constrói a partir dos autovalores e autovetores de
.
Passo 2
Formamos a matriz
e calculamos o polinômio característico:
Resolvendo
obtemos
Passo 3
Para o autovalor
resolvemos
$ (A-\lambda I)v=0 $ e encontramos um autovetor
$ (A-\lambda I)v=0 $ e encontramos um autovetor
com
e
.
Da teoria, as duas soluções reais fundamentais são
Da teoria, as duas soluções reais fundamentais são
Passo 4
A solução geral fica
Em componentes:
Passo 5
Usando
e
: em
temos
e
ou seja
Assim
e
.
Resposta
As soluções explícitas são: