Resolva o problema de valor inicial:
l d xd t=3 x+2 y d yd t=-x+4 y
com x(0)=1 e y(0)=2.

Passo 1

A questão pede para resolver o sistema de EDOs lineares
dx/dt = 3x + 2y e
dy/dt = –x + 4y com as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=2. O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes. Vamos usar a forma matricial X′ = A X, encontrar os autovalores de A e montar a solução em termos de exponencial e funções trigonométricas.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial: X = (x,y)ᵀ e
A = 3 & 2-1 & 4.
Os autovalores λ vêm de det(A – λI)=0:
detl(3-λ & 2-1 & 4-λr)=(3-λ)(4-λ)-2(-1)=λ^2-7λ+14=0
Aí temos λ = (7 ± i√7)/2.

Passo 3

Como os autovalores são complexos conjugados λ = p ± iω com p=7/2 e ω=√7/2, a teoria diz que a solução real geral é
X(t)=e^ptl[Icos(ωt)+(A-pI)tfrac1ωsin(ωt)r]C,
onde C é o vetor de constantes determinado pelas condições iniciais.

Passo 4

Para facilitar, definimos B = A - pI = -1/2 & 2-1 & 1/2. Notamos que B^2 = -(7/4)I, ou seja, B^2 = -ω^2 I com ω=√7/2. Assim
e^At=e^pte^Bt=e^ptl[Icos(ωt)+tfracBωsin(ωt)r]
Logo
X(t)=e^(7/2)tl[Icosl(tfrac√72tr)+tfrac2√7Bsinl(tfrac√72tr)r]X(0)

Passo 5

Agora aplicamos X(0)=(1,2)ᵀ. Calculamos B·X(0)=\bigl(7/2,0\bigr)ᵀ, então
x(t)=e{(7/2)t}[1·\cos(ωt)+\tfrac{2}{√7}·(7/2)\sin(ωt)]=e{(7/2)t}[\cos(ωt)+√7\sin(ωt)],
y(t)=e{(7/2)t}[2·\cos(ωt)+\tfrac{2}{√7}·0·\sin(ωt)]=2e{(7/2)t}\cos(ωt).

Passo 6

Obtivemos assim as soluções que satisfazem x(0)=1 e y(0)=2.

Resposta

x(t)=e^{\tfrac{7}{2}t}\bigl[\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)+\sqrt7\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\bigr],
y(t)=2,e^{\tfrac{7}{2}t}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).

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