Resolva o problema de valor inicial:
e
.
Passo 1
A questão pede para resolver o sistema de EDOs lineares
dx/dt = 3x + 2y e
dy/dt = –x + 4y com as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=2. O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes. Vamos usar a forma matricial X′ = A X, encontrar os autovalores de A e montar a solução em termos de exponencial e funções trigonométricas.
dx/dt = 3x + 2y e
dy/dt = –x + 4y com as condições iniciais x(0)=1 e y(0)=2. O conteúdo aqui é sistemas lineares com coeficientes constantes. Vamos usar a forma matricial X′ = A X, encontrar os autovalores de A e montar a solução em termos de exponencial e funções trigonométricas.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial: X = (x,y)ᵀ e
A = .
Os autovalores λ vêm de det(A – λI)=0:
A =
Os autovalores λ vêm de det(A – λI)=0:
Aí temos λ = (7 ± i√7)/2.
Passo 3
Como os autovalores são complexos conjugados λ = p ± iω com p=7/2 e ω=√7/2, a teoria diz que a solução real geral é
onde C é o vetor de constantes determinado pelas condições iniciais.
Passo 4
Para facilitar, definimos B = A - pI =
. Notamos que B^2 = -(7/4)I, ou seja, B^2 = -ω^2 I com ω=√7/2. Assim
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Passo 5
Agora aplicamos X(0)=(1,2)ᵀ. Calculamos B·X(0)=\bigl(7/2,0\bigr)ᵀ, então
x(t)=e{(7/2)t}[1·\cos(ωt)+\tfrac{2}{√7}·(7/2)\sin(ωt)]=e{(7/2)t}[\cos(ωt)+√7\sin(ωt)],
y(t)=e{(7/2)t}[2·\cos(ωt)+\tfrac{2}{√7}·0·\sin(ωt)]=2e{(7/2)t}\cos(ωt).
x(t)=e{(7/2)t}[1·\cos(ωt)+\tfrac{2}{√7}·(7/2)\sin(ωt)]=e{(7/2)t}[\cos(ωt)+√7\sin(ωt)],
y(t)=e{(7/2)t}[2·\cos(ωt)+\tfrac{2}{√7}·0·\sin(ωt)]=2e{(7/2)t}\cos(ωt).
Passo 6
Obtivemos assim as soluções que satisfazem x(0)=1 e y(0)=2.
Resposta
x(t)=e^{\tfrac{7}{2}t}\bigl[\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)+\sqrt7\sin\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr)\bigr],
y(t)=2,e^{\tfrac{7}{2}t}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).
y(t)=2,e^{\tfrac{7}{2}t}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt7}{2}t\bigr).