Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
onde
e
, e
é a função degrau unitário deslocada.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com degrau deslocado usando Transformada de Laplace: \n y’’(t) + 4y’(t) + 4y(t) = u(t-2), com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0. Vamos aplicar a transformada, lidar com o deslocamento e fazer a transformada inversa usando frações parciais e o teorema do deslocamento no tempo.
Passo 2
Sabendo que \n
e usando y(0)=0, y’(0)=0, ao aplicar a transformada de Laplace na equação obtemos:
Isolando
chega-se a:
Passo 3
Para inverter sem o fator
, consideramos
Fazendo frações parciais:
e igualando coeficientes obtém-se
,
e
.
Passo 4
Invertendo a transformada de
, temos
Passo 5
Finalmente, aplicamos o teorema do deslocamento no tempo (multiplicação por
corresponde a
e função em
):
Resposta
A solução final é a função em partes\n$