Exercícios com Transformada de Laplace.
Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime(t)+4 y^prime(t)+4 y(t)=u(t-2)
onde y(0)=0 e y^prime(0)=0, e u(t-2) é a função degrau unitário deslocada.

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com degrau deslocado usando Transformada de Laplace: \n y’’(t) + 4y’(t) + 4y(t) = u(t-2), com condições iniciais y(0)=0 e y’(0)=0. Vamos aplicar a transformada, lidar com o deslocamento e fazer a transformada inversa usando frações parciais e o teorema do deslocamento no tempo.

Passo 2

Sabendo que \n Lu(t-2) = e^-2s/s e usando y(0)=0, y’(0)=0, ao aplicar a transformada de Laplace na equação obtemos:
(s^2 + 4s + 4),Y(s) = e^-2ss
Isolando Y(s) chega-se a:
Y(s) = e^-2ss,(s+2)^2

Passo 3

Para inverter sem o fator e^-2s, consideramos
F(s) = 1s,(s+2)^2
Fazendo frações parciais:
1s(s+2)^2 = As + Bs+2 + C(s+2)^2,
e igualando coeficientes obtém-se A=tfrac14, B=-tfrac14 e C=-tfrac12.

Passo 4

Invertendo a transformada de F(s), temos
f(t) = 14 - 14 e^-2t - 12,t,e^-2t

Passo 5

Finalmente, aplicamos o teorema do deslocamento no tempo (multiplicação por e^-2s corresponde a u(t-2) e função em t-2):
y(t) = u(t-2),f(t-2)

Resposta

A solução final é a função em partes\n$

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