Definição: As equações autônomas são equações da forma
d yd x=f(y)
Vamos supor que f(y) seja derivável com derivada contínua no intervalo de estudo.
Sejam y1, cdots, yk zeros da função f(y). Os pontos yi são chamados pontos críticos ou de equilíbrio da equação d yd x=f(y) e as soluções y(t)=yi são chamadas soluções de equilíbrio ou estacionárias da equação.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado estável se para y(t0) um pouco diferente de yi, y(t) se aproxima de yi, quando t cresce.
Um ponto de equilíbrio yi é chamado instável se para y(t0) um pouco diferente de yi, y(t) se afasta de yi, quando t cresce.
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
i) d yd t=y^2(y^2-1), -infty;
iii) d yd t=y^2(4-y^2), -infty;
ii) d yd t=y(1-y^2), -infty;
iv) d yd t=y^2(1-y)^2, -infty.
(b) Suponha que determinada população obdece à equação logística d yd t=r y[1-yK].
i) Se y0=K3, encontre o intante tau no qual a população inicial dobrou. Encontre o valor de tau correspondente a r=0,025 por ano.
ii) Se y0K=alpha, encontre o instante T no qual y(T) / K=beta, em que 0. Note que T infty quando alpha 0 ou beta 1. Encontre o valor de T para r=0,025 por ano, alpha=0,1 e beta=0,9.
© Uma outra equação utilizada para modelar o crescimento populacional é a equação de Gompertz
d yd t=r y ln (Ky),
i) Esboce o gráfico de f(y) em função de y, encontre os pontos críticos e determine se cada um deles é assintoticamente estável ou instável.
ii) Para 0 <= y <= K, determine os intervalos em que o gráfico de y em função de t é convexo e onde é côncavo.
iii) Para cada y tal que 0, mostre que d yd t, como dado pela equação de Gompertz, nunca é menor do que d yd t, como dado pela equação logística.
(d) O trabalho de Daniel Bernoulli, em 1760, tinha como objetivo avaliar o quão efetivo estava sendo um programa controverso de inoculação contra a varíola, que era um grande problema de saúde pública na época. Seu modelo aplica-se igualmente bem para qualquer outra doença que, uma vez adquirida, se o paciente sobreviver, ganha imunidade para o resto da vida- também conhecido como Considere o conjunto de indivíduos nascidos em um dado ano (t=0) e seja n(t) o número destes indivíduos que sobrevivem t anos depois. Seja x(t) o número de elementos deste conjunto que ainda não tiveram varíola até o ano t e que são, portanto, suscetíveis. Seja beta a taxa segundo a qual indivíduos suscetíveis contraem varíola e seja nu a taxa segundo a qual pessoas que contraem varíola morrem da doença. Finalmente, seja mu(t) a taxa de morte por qualquer outro motivo diferente da varíola. Então, d xd t, a taxa segundo a qual o número de indivíduos suscetíveis varia, é dada por
d xd t=-(beta+mu(t)) x
O primeiro termo na expressão à direita da igualdade na equação (6) é a taxa segundo a qual os indivíduos suscetíveis contraem a doença, e o segundo termo é a taxa segundo a qual eles morrem de outras causas. Temos também que
d nd t=-nu beta x-mu(t) n
em que d n / d t é a taxa de mortalidade do conjunto inteiro, e os dois termos à direta do sinal de igualdade em
(7) são as taxas de mortalidade em consequência da varíola e de outras causas, respectivamente.
i) Seja z=x / n, mostre que z satisfaz o problema de valor inicial
d zd t=-beta z(1-nu z), z(0)=1
ii) Encontre z(t) resolvendo a equação (8).
iii) Bernoulli estimou que nu=beta=1 / 8. Usando estes valores, determine a proporç̧ão de indivíduos com 20 anos que ainda não tiveram varíola.

Passo 1

O enunciado apresenta vários modelos de equações diferenciais autônomas e pede: (a) para quatro funções f(y), esboçar f(y), encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los, desenhar reta de fase e soluções; (b) resolver o modelo logístico para tempos de dobramento e para condição geral; © estudar o modelo de Gompertz: pontos críticos, convexidade de y(t) e comparar f_Gompertz ≥ f_logístico; (d) no modelo de Bernoulli para varíola, definir z=x/n, obter a EDO para z, resolvê-la e avaliar z(20). Vamos usar análise de estabilidade (f’(y)), linha de fase, separação de variáveis, integração e desigualdade ln
x
x−1.

Passo 2

Para (a)i) f(y)=y²(y²−1). Zeros em y=0 (multiplicidade 2) e y=±1 (simples). Linha de fase dá sinais: |y|<1 ⇒ f<0, |y|>1 ⇒ f>0. Logo y=±1 são estáveis (fluxo aponta para eles) e y=0 é semi-estável (estável por y>0 e instável por y<0).
Para (a)ii) f(y)=y(1−y²). Zeros em y=0,±1; f’(y)=1−3y² ⇒ f’(0)=1>0 (instável), f’(±1)=−2<0 (estáveis).
Para (a)iii) f(y)=y²(4−y²). Zeros em y=0 (multiplicidade 2) e y=±2. Sinais: 0<|y|<2 ⇒ f>0, |y|>2 ⇒ f<0. Assim y=±2 são estáveis, y=0 semi-estável (fluxo atrai de y<0 e repele de y>0).
Para (a)iv) f(y)=y²(1−y)². Zeros em y=0,1 (cada uma duas vezes). Como f≥0, fluxo sempre puxa para direita. Então y=0 e y=1 são pontos semiestáveis (fluxo atrai de um lado e repele do outro).

Passo 3

Para (b)i) dy/dt=ry(1−y/K), y₀=K/3. Separando e integrando de y₀ a 2y₀ até t=τ, obtém‐se τ=(1/r)ln
  1. Para r=0.025
a⁻¹ dá τ=40
ln
4≈55.5
anos.
Para (b)ii) com y₀/K=α e y(T)/K=β, a integral gera T=(1/r)ln[β(1−α)/(α(1−β))]. Para r=0.025, α=0.1, β=0.9: T=(1/0.025)ln
81≈175.8
anos.

Passo 4

Para ©i) f(y)=ry
ln(K/y). Só há equilíbrio em y=K (f(K)=0) e queda contínua de y para K, logo y=K é assintoticamente estável (não há outro equilíbrio em (0,K]).
Para ©ii) y’’=f’(y)f(y) com f’(y)=r[ln(K/y)−1], logo y’’=r²y
ln(K/y)[ln(K/y)−1]. Então y’>0 se ln(K/y)>1 (isto é y<K/e) e y’’<0 se K/e<y<K.
Para ©iii) comparar f_G=ry
ln(K/y) e f_L=ry(1−y/K). Basta ver ln(K/y)≥1−y/K para 0<y≤K, que segue de −ln(x)≥1−x aplicando x=y/K.

Passo 5

Para (d)i) definindo z=x/n, usa‐se dz/dt=[n
dx/dt−x
dn/dt]/n² e substitui dx/dt=−(β+μ)x, dn/dt=−νβx−μn, obtendo dz/dt=−β
z(1−ν
z), z(0)=1.
Para (d)ii) separar dz/[z(1−νz)] = −βdt, integrar e usar z(0)=1 traz z(t)=1/[ν+(1−ν)e^{βt}].
Para (d)iii) com β=ν=1/8 e t=20
anos, z(20)=1/[1/8+(7/8)e^{20/8}]≈0.0927 ou 9.27%.

Passo 6

Cada item teve seu esboço de f(y), reta de fase, classificação, soluções integradas e cálculos numéricos conforme pedido.

Resposta

(a)i) Equilíbrios em y=±1 (estáveis) e y=0 (semiestável). (a)ii) y=±1 estáveis, y=0 instável. (a)iii) y=±2 estáveis, y=0 semiestável. (a)iv) y=0 e y=1 semiestáveis. (b)i) τ=(1/r)ln4≈55.5 anos para r=0.025. (b)ii) T=(1/r)ln[β(1−α)/(α(1−β))]≈175.8 anos para α=0.1, β=0.9. ©i) único equilíbrio y=K, estável. ©ii) y(t) é convexo para y<K/e e côncavo para K/e<y<K. ©iii) f_Gompertz≥f_logístico em (0,K]. (d)i) dz/dt=−βz(1−νz), z(0)=1. (d)ii) z(t)=1/[ν+(1−ν)e^{βt}]. (d)iii) z(20)≈0.0927 (9.27%).

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