Definição: As equações autônomas são equações da forma
Vamos supor que
seja derivável com derivada contínua no intervalo de estudo.
Sejam
zeros da função
. Os pontos
são chamados pontos críticos ou de equilíbrio da equação
e as soluções
são chamadas soluções de equilíbrio ou estacionárias da equação.
Um ponto de equilíbrio
é chamado estável se para
um pouco diferente de
se aproxima de
, quando t cresce.
Um ponto de equilíbrio
é chamado instável se para
um pouco diferente de
se afasta de
, quando t cresce.
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique cada um como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty.
i)
;
iii)
;
ii)
;
iv)
.
(b) Suponha que determinada população obdece à equação logística
.
i) Se
, encontre o intante
no qual a população inicial dobrou. Encontre o valor de
correspondente a
por ano.
ii) Se
, encontre o instante
no qual
, em que
. Note que
quando
ou
. Encontre o valor de
para
por ano,
e
.
© Uma outra equação utilizada para modelar o crescimento populacional é a equação de Gompertz
i) Esboce o gráfico de
em função de
, encontre os pontos críticos e determine se cada um deles é assintoticamente estável ou instável.
ii) Para
, determine os intervalos em que o gráfico de
em função de
é convexo e onde é côncavo.
iii) Para cada
tal que
, mostre que
, como dado pela equação de Gompertz, nunca é menor do que
, como dado pela equação logística.
(d) O trabalho de Daniel Bernoulli, em 1760, tinha como objetivo avaliar o quão efetivo estava sendo um programa controverso de inoculação contra a varíola, que era um grande problema de saúde pública na época. Seu modelo aplica-se igualmente bem para qualquer outra doença que, uma vez adquirida, se o paciente sobreviver, ganha imunidade para o resto da vida- também conhecido como Considere o conjunto de indivíduos nascidos em um dado ano
e seja
o número destes indivíduos que sobrevivem
anos depois. Seja
o número de elementos deste conjunto que ainda não tiveram varíola até o ano
e que são, portanto, suscetíveis. Seja
a taxa segundo a qual indivíduos suscetíveis contraem varíola e seja
a taxa segundo a qual pessoas que contraem varíola morrem da doença. Finalmente, seja
a taxa de morte por qualquer outro motivo diferente da varíola. Então,
, a taxa segundo a qual o número de indivíduos suscetíveis varia, é dada por
O primeiro termo na expressão à direita da igualdade na equação (6) é a taxa segundo a qual os indivíduos suscetíveis contraem a doença, e o segundo termo é a taxa segundo a qual eles morrem de outras causas. Temos também que
em que
é a taxa de mortalidade do conjunto inteiro, e os dois termos à direta do sinal de igualdade em
(7) são as taxas de mortalidade em consequência da varíola e de outras causas, respectivamente.
i) Seja
, mostre que
satisfaz o problema de valor inicial
ii) Encontre
resolvendo a equação (8).
iii) Bernoulli estimou que
. Usando estes valores, determine a proporç̧ão de indivíduos com 20 anos que ainda não tiveram varíola.
Sejam
Um ponto de equilíbrio
Um ponto de equilíbrio
(a) Em cada item a seguir, esboce o gráfico de
i)
iii)
ii)
iv)
(b) Suponha que determinada população obdece à equação logística
i) Se
ii) Se
© Uma outra equação utilizada para modelar o crescimento populacional é a equação de Gompertz
ii) Para
iii) Para cada
(d) O trabalho de Daniel Bernoulli, em 1760, tinha como objetivo avaliar o quão efetivo estava sendo um programa controverso de inoculação contra a varíola, que era um grande problema de saúde pública na época. Seu modelo aplica-se igualmente bem para qualquer outra doença que, uma vez adquirida, se o paciente sobreviver, ganha imunidade para o resto da vida- também conhecido como Considere o conjunto de indivíduos nascidos em um dado ano
(7) são as taxas de mortalidade em consequência da varíola e de outras causas, respectivamente.
i) Seja
iii) Bernoulli estimou que
Passo 1
O enunciado apresenta vários modelos de equações diferenciais autônomas e pede: (a) para quatro funções f(y), esboçar f(y), encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los, desenhar reta de fase e soluções; (b) resolver o modelo logístico para tempos de dobramento e para condição geral; © estudar o modelo de Gompertz: pontos críticos, convexidade de y(t) e comparar f_Gompertz ≥ f_logístico; (d) no modelo de Bernoulli para varíola, definir z=x/n, obter a EDO para z, resolvê-la e avaliar z(20). Vamos usar análise de estabilidade (f’(y)), linha de fase, separação de variáveis, integração e desigualdade ln
x
≤
x−1.
Passo 2
Para (a)i) f(y)=y²(y²−1). Zeros em y=0 (multiplicidade 2) e y=±1 (simples). Linha de fase dá sinais: |y|<1 ⇒ f<0, |y|>1 ⇒ f>0. Logo y=±1 são estáveis (fluxo aponta para eles) e y=0 é semi-estável (estável por y>0 e instável por y<0).
Para (a)ii) f(y)=y(1−y²). Zeros em y=0,±1; f’(y)=1−3y² ⇒ f’(0)=1>0 (instável), f’(±1)=−2<0 (estáveis).
Para (a)iii) f(y)=y²(4−y²). Zeros em y=0 (multiplicidade 2) e y=±2. Sinais: 0<|y|<2 ⇒ f>0, |y|>2 ⇒ f<0. Assim y=±2 são estáveis, y=0 semi-estável (fluxo atrai de y<0 e repele de y>0).
Para (a)iv) f(y)=y²(1−y)². Zeros em y=0,1 (cada uma duas vezes). Como f≥0, fluxo sempre puxa para direita. Então y=0 e y=1 são pontos semiestáveis (fluxo atrai de um lado e repele do outro).
Para (a)ii) f(y)=y(1−y²). Zeros em y=0,±1; f’(y)=1−3y² ⇒ f’(0)=1>0 (instável), f’(±1)=−2<0 (estáveis).
Para (a)iii) f(y)=y²(4−y²). Zeros em y=0 (multiplicidade 2) e y=±2. Sinais: 0<|y|<2 ⇒ f>0, |y|>2 ⇒ f<0. Assim y=±2 são estáveis, y=0 semi-estável (fluxo atrai de y<0 e repele de y>0).
Para (a)iv) f(y)=y²(1−y)². Zeros em y=0,1 (cada uma duas vezes). Como f≥0, fluxo sempre puxa para direita. Então y=0 e y=1 são pontos semiestáveis (fluxo atrai de um lado e repele do outro).
Passo 3
Para (b)i) dy/dt=ry(1−y/K), y₀=K/3. Separando e integrando de y₀ a 2y₀ até t=τ, obtém‐se τ=(1/r)ln
- Para r=0.025
a⁻¹ dá τ=40
ln
4≈55.5
anos.
Para (b)ii) com y₀/K=α e y(T)/K=β, a integral gera T=(1/r)ln[β(1−α)/(α(1−β))]. Para r=0.025, α=0.1, β=0.9: T=(1/0.025)ln
Para (b)ii) com y₀/K=α e y(T)/K=β, a integral gera T=(1/r)ln[β(1−α)/(α(1−β))]. Para r=0.025, α=0.1, β=0.9: T=(1/0.025)ln
81≈175.8
anos.
Passo 4
Para ©i) f(y)=ry
ln(K/y). Só há equilíbrio em y=K (f(K)=0) e queda contínua de y para K, logo y=K é assintoticamente estável (não há outro equilíbrio em (0,K]).
Para ©ii) y’’=f’(y)f(y) com f’(y)=r[ln(K/y)−1], logo y’’=r²y
Para ©ii) y’’=f’(y)f(y) com f’(y)=r[ln(K/y)−1], logo y’’=r²y
ln(K/y)[ln(K/y)−1]. Então y’>0 se ln(K/y)>1 (isto é y<K/e) e y’’<0 se K/e<y<K.
Para ©iii) comparar f_G=ry
Para ©iii) comparar f_G=ry
ln(K/y) e f_L=ry(1−y/K). Basta ver ln(K/y)≥1−y/K para 0<y≤K, que segue de −ln(x)≥1−x aplicando x=y/K.
Passo 5
Para (d)i) definindo z=x/n, usa‐se dz/dt=[n
dx/dt−x
dn/dt]/n² e substitui dx/dt=−(β+μ)x, dn/dt=−νβx−μn, obtendo dz/dt=−β
z(1−ν
z), z(0)=1.
Para (d)ii) separar dz/[z(1−νz)] = −βdt, integrar e usar z(0)=1 traz z(t)=1/[ν+(1−ν)e^{βt}].
Para (d)iii) com β=ν=1/8 e t=20
Para (d)ii) separar dz/[z(1−νz)] = −βdt, integrar e usar z(0)=1 traz z(t)=1/[ν+(1−ν)e^{βt}].
Para (d)iii) com β=ν=1/8 e t=20
anos, z(20)=1/[1/8+(7/8)e^{20/8}]≈0.0927 ou 9.27%.
Passo 6
Cada item teve seu esboço de f(y), reta de fase, classificação, soluções integradas e cálculos numéricos conforme pedido.
Resposta
(a)i) Equilíbrios em y=±1 (estáveis) e y=0 (semiestável). (a)ii) y=±1 estáveis, y=0 instável. (a)iii) y=±2 estáveis, y=0 semiestável. (a)iv) y=0 e y=1 semiestáveis. (b)i) τ=(1/r)ln4≈55.5 anos para r=0.025. (b)ii) T=(1/r)ln[β(1−α)/(α(1−β))]≈175.8 anos para α=0.1, β=0.9. ©i) único equilíbrio y=K, estável. ©ii) y(t) é convexo para y<K/e e côncavo para K/e<y<K. ©iii) f_Gompertz≥f_logístico em (0,K]. (d)i) dz/dt=−βz(1−νz), z(0)=1. (d)ii) z(t)=1/[ν+(1−ν)e^{βt}]. (d)iii) z(20)≈0.0927 (9.27%).