Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
Essa questão faz parte de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
Essa é uma equação quadrática que a gente vai resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 3
Aplicando a fórmula quadrática:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = -1 $. Substituindo:
Então, as raízes são $ r_1 = -1 + \sqrt{2} $ e $ r_2 = -1 - \sqrt{2} $.
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = -1 $. Primeiro, precisamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo $ t = 0 $ e $ C_2 = -C_1 $:
Resolvendo para $ C_1 $:
E então:
Passo 7
Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, vamos substituir de volta na solução geral:
Podemos fatorar $ \frac{\sqrt{2}}{4} $ para simplificar:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: