Resolva o problema de valor inicial
l y^prime prime+2 y^prime-y=0 y(0)=0 y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 2y' - y = 0
Com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = -1
Essa questão faz parte de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica é obtida substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
y''
Essa é uma equação quadrática que a gente vai resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Aplicando a fórmula quadrática:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = -1 $. Substituindo:
a = 1
Então, as raízes são $ r_1 = -1 + \sqrt{2} $ e $ r_2 = -1 - \sqrt{2} $.

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo os valores de $ r_1 $ e $ r_2 $:
r1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente vai determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial $ y(0) = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na solução geral:
y(0) = 0
Então, temos:
t = 0

Passo 6

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = -1 $. Primeiro, precisamos calcular a derivada da solução geral:
y'(0) = -1
Substituindo $ t = 0 $ e $ C_2 = -C_1 $:
y'(t) = C1 (-1 + raiz2) e^(-1 + raiz2) t + C2 (-1 - raiz2) e^(-1 - raiz2) t
Resolvendo para $ C_1 $:
t = 0
E então:
C2 = -C1

Passo 7

Agora que temos os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $, vamos substituir de volta na solução geral:
C1
Podemos fatorar $ \frac{\sqrt{2}}{4} $ para simplificar:
C2

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = raiz24 ( e^(-1 - raiz2) t - e^(-1 + raiz2) t )

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