Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Aqui o enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
, com
e
. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não-homogênea, e vamos precisar da solução geral da homogênea e da técnica de variação de parâmetros para achar uma particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da homogênea associada
. A equação característica é
, com raízes
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Agora usamos variação de parâmetros. Escolhemos as soluções fundamentais
,
. O Wronskiano é
. As fórmulas dizem:
Integrando, obtemos
Assim a solução particular fica
Passo 4
A solução geral é
Precisamos agora aplicar as condições iniciais. Calculamos a derivada:
Simplificando os termos de
cancelantes, fica
Passo 5
Agora impomos as condições em
:
Logo a solução que satisfaz o problema é