Resolva o problema de valor inicial
l y^prime prime+y=sec t y(0)=1, y^prime(0)=-2

Passo 1

Aqui o enunciado pede para resolver o problema de valor inicial y''+y=sec t, com y(0)=1 e y'(0)=-2. O conteúdo é EDO linear de 2ª ordem não-homogênea, e vamos precisar da solução geral da homogênea e da técnica de variação de parâmetros para achar uma particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da homogênea associada y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo a solução homogênea é
yh(t)=Acos t + Bsin t

Passo 3

Agora usamos variação de parâmetros. Escolhemos as soluções fundamentais y1=cos t, y2=sin t. O Wronskiano é W=cos^2t+sin^2t=1. As fórmulas dizem:
u1'(t)=-sec t,y2W=-sec t,sin t=-tan t,
u2'(t)=sec t,y1W=sec t,cos t=1
Integrando, obtemos
nu1(t)=integral -tan t,dt=ln(cos t),
nu2(t)=integral 1,dt=t
Assim a solução particular fica
yp(t)=nu1,y1+nu2,y2=cos tln(cos t)+tsin t

Passo 4

A solução geral é
y(t)=Acos t + Bsin t + cos tln(cos t)+tsin t
Precisamos agora aplicar as condições iniciais. Calculamos a derivada:
y'(t)=-Asin t + Bcos t +l[-sin tln(cos t)-sin tr]+[sin t + tcos t]
Simplificando os termos de sin t cancelantes, fica
y'(t)=-Asin t + Bcos t -sin tln(cos t) + tcos t

Passo 5

Agora impomos as condições em t=0:
y(0)=A+0+0+0=1implies A=1,
y'(0)=0+Bcdot1-0+0=B=-2
Logo a solução que satisfaz o problema é
y(t)=cos t + Bsin t + cos tln(cos t)+tsin t =cos t + cos tln(cos t)-2sin t + tsin t

Resposta

y(t)=cos t + cos tln(cos t) -2sin t + tsin t

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