Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas. Em caso afirmativo, resolvaas.
(a)
(2 x \cos y)+\left(4 y-x^{{2}} \operatorname{sen} y\right) \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificarmos se a equação diferencial
2x\cos y + \bigl(4y - x^{2}\sin y\bigr)\frac{dy}{dx} = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrarmos sua solução geral.
Para isso vamos usar que, numa equação da forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
ela é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x},
e então construímos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = N,
de onde surge a solução implícita \Phi(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x\cos y, \quad N(x,y) = 4y - x^{2}\sin y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x \,\bigl(-\sin y\bigr) = -2x\sin y,
\frac{\partial N}{\partial x} = -2x\sin y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar \Phi(x,y), integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) = \int 2x\cos y\,dx = x^{2}\cos y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Derivamos \Phi em relação a y e igualamos a N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -x^{2}\sin y + h'(y) \overset{!}{=} 4y - x^{2}\sin y.
Logo h'(y)=4y, e integrando
h(y)=2y^{2}.
Assim
\Phi(x,y)=x^{2}\cos y + 2y^{2}.

Resposta

x^{2}\cos y + 2y^{2} = C,
que é a solução geral da equação diferencial exata dada.

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