Resolva o problema de valor inicial:
ll & d yd t=6 y-8 t, y(0)=-52 y(t)= (função de t) çã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que mostra como a função muda em relação ao tempo . A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como achar um fator integrante e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão. A equação que temos é:
dydt = 6y - 8t
Vamos reorganizar isso para deixar na forma dydt - 6y = -8t :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) , dt . O fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação diferencial, nos ajuda a resolver a equação de forma mais fácil. Ele é dado por:
mu(t) = e^integral -6 , dt = e^-6t
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela e^-6t dydt - 6e^-6t y = -8t e^-6t :
ddt [e^-6t y] = -8t e^-6t
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a integral ddt [e^-6t y] , dt = integral -8t e^-6t , dt :
e^-6t y = integral -8t e^-6t , dt + C
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral u = t Rightarrow du = dt , vamos usar integração por partes. Vamos escolher:
dv = e^-6t dt Rightarrow v = -16 e^-6t
integral t e^-6t dt = -t6 e^-6t + 16 integral e^-6t dt = -t6 e^-6t - 136 e^-6t + C
Aplicando a fórmula de integração por partes integral -8t e^-6t dt = 8t6 e^-6t + 836 e^-6t + C = 4t3 e^-6t + 29 e^-6t + C :
Multiplicando por -8:

Passo 7

Voltando à equação:
e^-6t y = 4t3 e^-6t + 29 e^-6t + C
Vamos multiplicar ambos os lados por y = 4t3 + 29 + C e^6t para isolar :

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial -52 = 4(0)3 + 29 + C e^0 para encontrar -52 = 0 + 29 + C :
C = -52 - 29 = -4518 - 418 = -4918

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 43 t + 29 - 4918 e^6t

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