Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial que mostra como a função
muda em relação ao tempo
. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como achar um fator integrante e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão. A equação que temos é:
Vamos reorganizar isso para deixar na forma
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação diferencial, nos ajuda a resolver a equação de forma mais fácil. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela
:
Isso transforma a equação em uma forma onde o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral
, vamos usar integração por partes. Vamos escolher:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Multiplicando por -8:
Passo 7
Voltando à equação:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: