Resolva o problema de valor inicial:
ly^prime prime+4 y^prime+4 y=f(t) y(0)=2 ; y^prime(0)=-3

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = f(t),
com condições
y(0)=2,
y'(0)=-3
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçante genérico f(t). Para resolver vamos precisar da solução homogênea (raízes da equação característica), de uma solução particular (usando a resposta ao impulso e convolução) e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada à parte homogênea
y'' + 4y' + 4y = 0
é
r^2 + 4r + 4 = 0 ,
Essa equação fatoriza em (r+2)^2=0, logo temos raiz dupla r=-2. Portanto a solução homogênea é
yh(t) = (C1 + C2 , t)e^-2t
Aqui usamos a teoria de raízes múltiplas que introduz o fator t na segunda solução.

Passo 3

Para achar uma solução particular geral, podemos usar a resposta ao impulso (função de Green). O transformado de 1/(s^2+4s+4) = 1/(s+2)^2 tem antitransformada
h(t) = t e^-2t
para t>=0. A teoria da convolução nos diz que
yp(t) = integral0^t h(t-tau),f(tau),dtau = integral0^t (t-tau)e^-2(t-tau) f(tau),dtau
Assim a solução geral fica
y(t) = yh(t) + yp(t) = (C1 + C2 t)e^-2t + integral0^t (t-tau)e^-2(t-tau)f(tau),dtau

Passo 4

Aplicando as condições iniciais:
  • De y(0)=2 vem
y(0) = C1 = 2
  • Para y'(0)=-3, derivamos y(t): y'(t) = l[-2(C1 + C2 t) + C2r]e^-2t + ddtintegral0^t h(t-tau)f(tau)dtau A derivada da convolução em t=0 é zero porque h(0)=0. Então y'(0) = [-2C1 + C2] = -3 Substituindo C1=2 -2cdot2 + C2 = -3 Longrightarrow C2 = 1

Resposta

A solução do PVC é
y(t) = (2 + t)e^-2t + integral0^t (t-tau)e^-2(t-tau),f(tau),dtau

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