Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Temos o problema de valor inicial
com condições
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e termo forçante genérico
. Para resolver vamos precisar da solução homogênea (raízes da equação característica), de uma solução particular (usando a resposta ao impulso e convolução) e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
A equação característica associada à parte homogênea
é
Essa equação fatoriza em
, logo temos raiz dupla
. Portanto a solução homogênea é
Aqui usamos a teoria de raízes múltiplas que introduz o fator
na segunda solução.
Passo 3
Para achar uma solução particular geral, podemos usar a resposta ao impulso (função de Green). O transformado de
tem antitransformada
para
. A teoria da convolução nos diz que
Assim a solução geral fica
Passo 4
Aplicando as condições iniciais:
- De
vem
- Para
, derivamos : A derivada da convolução em é zero porque . Então Substituindo dá
Resposta
A solução do PVC é