Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar superposição: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma particular, e por fim ajustamos os constantes pelos valores iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
cuja raiz é
Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Como o termo forçante
coincide com a forma da homogênea, aplicamos método dos coeficientes indeterminados com multiplicação por
. Proponho
Passo 4
Substituindo
no operador
e simplificando usando derivadas de
, obtém-se
Para ter
é necessário
Como
, igualando coeficientes vem
Assim
Passo 5
A solução geral do problema é
Impondo
dá
e para
calculamos
de onde
.