Resolva o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=-2 e^{-x} \operatorname{sen} x \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' + 2y' + 2y = -2e^{-x}\sin x,\\\ y(0)=1,\;y'(0)=0. \end{cases}
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar superposição: primeiro achamos a solução geral da homogênea e depois uma particular, e por fim ajustamos os constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 2y' + 2y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 2 = 0
cuja raiz é
r = -1 \pm i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Passo 3

Como o termo forçante -2e^{-x}\sin x coincide com a forma da homogênea, aplicamos método dos coeficientes indeterminados com multiplicação por x. Proponho
y_p(x) = x e^{-x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).

Passo 4

Substituindo y_p no operador L[y]=y''+2y'+2y e simplificando usando derivadas de u(x)=A\cos x+B\sin x, obtém-se
L[y_p] = 2e^{-x}u'(x).
Para ter L[y_p]=-2e^{-x}\sin x é necessário
2u'(x) = -2\sin x \quad\Longrightarrow\quad u'(x) = -\sin x.
Como u'(x)=-A\sin x + B\cos x, igualando coeficientes vem
-A = -1\\ \Rightarrow\\ A=1, \quad B=0.
Assim
y_p(x) = x e^{-x}\cos x.

Passo 5

A solução geral do problema é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^{-x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + x e^{-x}\cos x.
Impondo y(0)=1
C_1 = 1,
e para y'(0)=0 calculamos
y'(x) = e^{-x}\bigl(v'(x)-v(x)\bigr), \quad v(x) = (1+x)\cos x + C_2\sin x,
de onde C_2=0.

Resposta

\boxed{y(x) = e^{-x}\,(1 + x)\cos x.}

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