Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=f(t), \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+4y'+4y=f(t),\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=-3.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é linear, de coeficientes constantes, e é não homogênea porque há o termo \,f(t)\, no lado direito.
  • As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=-3.
  • A função f(t) não foi especificada; portanto a solução deve ser obtida em termos de f (ou de sua transformada).

Passo 2

Escolha do método: vou usar a transformada de Laplace porque ela trata bem coeficientes constantes e incorpora diretamente as condições iniciais, além de permitir representar a contribuição de f(t) por meio de sua transformada F(s). Outra forma equivalente é usar a função de Green / convolução; veremos isso aparecer naturalmente pela inversa da transformada.

Passo 3

Conceitos úteis (mini-aula):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função g(t) (para t\ge0),
\mathcal{L}\{g\}(s)=G(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}g(t)\,dt.
  • Transformadas de derivadas (essenciais para incorporar condições iniciais):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s).
  • Teorema da convolução: se G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s) e F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s) então
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)F(s)\} = \int_{0}^{t} g(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau.
Vou aplicar essas fórmulas à equação.

Passo 4

Aplicando a transformada de Laplace à equação \,y''+4y'+4y=f(t)\, e usando as fórmulas das derivadas:
\mathcal{L}\{y''\}+4\mathcal{L}\{y'\}+4\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{f\}.
Substituindo:
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\big)+4\big(sY(s)-y(0)\big)+4Y(s)=F(s).
Agrupando os termos em Y(s):
Y(s)\big(s^{2}+4s+4\big)-\big(s y(0)+y'(0)+4y(0)\big)=F(s).

Passo 5

Usando as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-3, calculo o termo com as iniciais:
s y(0)+y'(0)+4y(0)=s\cdot 2+(-3)+4\cdot 2 = 2s-3+8 = 2s+5.
Além disso s^{2}+4s+4=(s+2)^{2}. Portanto
Y(s)(s+2)^{2}- (2s+5)=F(s),
ou isolando Y(s),
Y(s)=\frac{F(s)}{(s+2)^{2}}+\frac{2s+5}{(s+2)^{2}}.

Passo 6

Agora vou inverter cada parcela. Primeiro decompomos \dfrac{2s+5}{(s+2)^{2}} em termos mais simples. Observe que
2s+5 = 2(s+2)+1,
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\frac{2s+5}{(s+2)^{2}}=\frac{2(s+2)}{(s+2)^{2}}+\frac{1}{(s+2)^{2}}=\frac{2}{s+2}+\frac{1}{(s+2)^{2}}.
As inversas de Laplace conhecidas são
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+2)^{2}}\right\}=t e^{-2t}.
Portanto a parte referente às condições iniciais dá, ao voltar ao tempo,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s+5}{(s+2)^{2}}\right\}=2e^{-2t}+t e^{-2t}.

Passo 7

Resta a parcela \dfrac{F(s)}{(s+2)^{2}}. Pela propriedade da convolução, se
\mathcal{L}\{g\}(s)=\frac{1}{(s+2)^{2}},
então g(t)=t e^{-2t} (porque já sabemos \mathcal{L}\{t e^{-2t}\}=\dfrac{1}{(s+2)^{2}}). Assim
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{F(s)}{(s+2)^{2}}\right\} = \int_{0}^{t} g(t-\tau)\,f(\tau)\,d\tau = \int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,f(\tau)\,d\tau.
Isso é a contribuição do forçamento f(t) — é uma convolução do núcleo g com f.

Passo 8

Juntando tudo, a solução geral do problema de valor inicial é
y(t)=2e^{-2t}+t e^{-2t}+\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,f(\tau)\,d\tau.
Vou verificar rapidamente as condições iniciais para ficar tranquilo: para t=0 o integral é zero, então y(0)=2. Para a derivada, a derivada do termo 2e^{-2t}+t e^{-2t} em t=0 é -4+1=-3; a derivada do integral avaliada em t=0 é zero (termo integral começa em zero), então y'(0)=-3. Está consistente.

Passo 9

Interpretação e como usar na prova:
  • A estrutura y(t)= (parte determinada pelas condições iniciais) + (convolução com f) é típica quando o operador é (D+2)^{2}. O núcleo g(t)=t e^{-2t} é a resposta ao impulso unitário do sistema.
  • Se na prova der f(t) explícito (por exemplo f(t)=1 ou f(t)=e^{at}), você calcula o integral
\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau
fazendo a substituição u=t-\tau ou usando integrais conhecidas; isso normalmente é direto e pode ser feito sem calculadora para funções simples.
  • Exemplo rápido: se f(t)=1,
\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,d\tau = \int_{0}^{t} u e^{-2u}\,du = \left[-\left(\frac{u}{2}+\frac{1}{4}\right)e^{-2u}\right]_{0}^{t} = \frac{1}{4}-\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\right)e^{-2t},
e assim se obtém y(t) concreto nesse caso.

Resposta

y(t)=2e^{-2t}+t e^{-2t}+\int_{0}^{t} (t-\tau)e^{-2(t-\tau)}\,f(\tau)\,d\tau.

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