Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Informações dadas:
- A equação diferencial é linear, de coeficientes constantes, e é não homogênea porque há o termo
no lado direito. - As condições iniciais são
e . - A função
não foi especificada; portanto a solução deve ser obtida em termos de (ou de sua transformada).
Passo 2
Escolha do método: vou usar a transformada de Laplace porque ela trata bem coeficientes constantes e incorpora diretamente as condições iniciais, além de permitir representar a contribuição de
por meio de sua transformada
. Outra forma equivalente é usar a função de Green / convolução; veremos isso aparecer naturalmente pela inversa da transformada.
Passo 3
Conceitos úteis (mini-aula):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(para ),
- Transformadas de derivadas (essenciais para incorporar condições iniciais):
onde
.
- Teorema da convolução: se
e então
Vou aplicar essas fórmulas à equação.
Passo 4
Aplicando a transformada de Laplace à equação
e usando as fórmulas das derivadas:
Substituindo:
Agrupando os termos em
:
Passo 5
Usando as condições iniciais
e
, calculo o termo com as iniciais:
Além disso
. Portanto
ou isolando
,
Passo 6
Agora vou inverter cada parcela. Primeiro decompomos
em termos mais simples. Observe que
logo
As inversas de Laplace conhecidas são
Portanto a parte referente às condições iniciais dá, ao voltar ao tempo,
Passo 7
Resta a parcela
. Pela propriedade da convolução, se
então
(porque já sabemos
). Assim
Isso é a contribuição do forçamento
— é uma convolução do núcleo
com
.
Passo 8
Juntando tudo, a solução geral do problema de valor inicial é
Vou verificar rapidamente as condições iniciais para ficar tranquilo: para
o integral é zero, então
. Para a derivada, a derivada do termo
em
é
; a derivada do integral avaliada em
é zero (termo integral começa em zero), então
. Está consistente.
Passo 9
Interpretação e como usar na prova:
- A estrutura
(parte determinada pelas condições iniciais) (convolução com ) é típica quando o operador é . O núcleo é a resposta ao impulso unitário do sistema. - Se na prova der
explícito (por exemplo ou ), você calcula o integral
fazendo a substituição
ou usando integrais conhecidas; isso normalmente é direto e pode ser feito sem calculadora para funções simples.
- Exemplo rápido: se
,
e assim se obtém
concreto nesse caso.