Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
onde
Informações dadas importantes:
- A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento
e
.
3. A forçavale até e depois é zero.]
Passo 2
Como o problema tem condições iniciais nulas, existe uma solução particular dada pela convolução entre a resposta ao impulso do operador diferencial e
. Vou usar essa ideia (prática comum em provas) porque é direta: a solução com condições iniciais zero é
onde
é a resposta ao impulso (a função cuja transformada de Laplace é
). Vou explicar como obter
e calcular a integral de convolução explicitamente, tratando o fato de
ser por partes.
Passo 3
Encontrando a resposta ao impulso
.
- O operador é
. A transformada de Laplace do impulso dá no lado direito, então
- Invertendo a transformada de Laplace conhecemos a transformada padrão
Comparando com
vemos que
e que precisamos de
multiplicada por um fator
, pois
- Logo a resposta ao impulso é
ou seja
(onde
é a função de Heaviside).
Passo 4
Escrevendo a solução por convolução e tratando a peça de
.
Com
obtemos
Como
para
e
para
, o integral tem limites diferentes dependendo de
. É conveniente definir
. Então
com
quando
e
quando
. Vou calcular essa integral geral em termos de
e depois especializar.
Passo 5
Cálculo da integral geral
Primeiro uso a identidade de seno:
Logo
Chamemos
Passo 6
Calcular
e
. Vou usar fórmulas padrão (que podem ser obtidas por integração por partes ou integrando
):
Fórmulas gerais:
Avaliação definida de
a
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Substituindo
e
em
:
Substituindo as expressões:
Agrupando os termos que envolvem
e os constantes:
Usando identidades trigonométricas:
temos
Passo 8
Lembrando que
, obtemos a expressão geral
onde
. Agora especializamos para as duas regiões
e
.
Passo 9
Caso
: então
. Substituindo
na expressão anterior:
Como
e
, isto dá
Simplificando:
Essa é a solução no intervalo inicial; verifica-se imediatamente que
(bons sinais!).
Passo 10
Caso
: então
. Substituindo
na expressão geral:
Podemos deixar a resposta nessa forma (é explícita e adequada para prova). Se quiser, pode usar identidades de soma de ângulos para reescrever
e
em termos de
e
, mas não é necessário.