5.4 Resolva a equação integral
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação integral
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é a função
. - A integral é de Volterra (limite superior
) com núcleo . - A equação relaciona
com uma integral em envolvendo . - Não há outras condições explícitas além da própria equação; podemos obter condições iniciais avaliando a equação e sua derivada em
.
Passo 2
Ideia para resolver (explicação do método): uma técnica muito útil para equações integrais de Volterra com núcleo do tipo
é diferenciar a equação em relação a
. Ao diferenciar, a integral transforma-se em outra integral com núcleo derivado e aparece um termo de avaliação em
. Repetindo a diferenciação uma segunda vez obtemos uma equação diferencial ordinária (EDO) para
sem integrais. Vou aplicar essa ideia passo a passo. Antes de derivar, vou lembrar a regra de Leibniz para derivar uma integral dependente do limite superior e do integrando:
Se
, então
No nosso caso
. Note que podemos ver
também como função de
:
com
. Vou usar essas derivadas com cuidado.
Passo 3
Primeira diferenciação da equação original. Começamos com
Aplicando a regra acima:
-
. -
.
Logo
Ou seja,
Passo 4
Segunda diferenciação. Diferenciando a expressão de
:
- O termo
deriva para . - Para a integral, aplicamos novamente Leibniz:
- No novo núcleo
temos . -
.
- No novo núcleo
Portanto
Reescrevendo,
Passo 5
Eliminação da integral usando a equação original. Observe que da equação inicial temos
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Passando todos os termos para um lado:
Portanto chegamos a uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
Passo 6
Resolvendo a EDO homogênea associada e encontrando uma particular. A equação homogênea é
A equação característica é
, com raízes
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar.
Para uma solução particular
da equação completa com termo do lado direito polinomial
, tentamos um polinômio de grau 1:
Calculamos
. Substituindo na equação:
Igualando coeficientes de termos em
e constantes:
- Coeficiente de
: . - Constante:
.
Logo
A solução geral da EDO é a soma:
Passo 7
Encontrando
e
pelas condições iniciais extraídas da equação integral.
Primeira condição: avaliar a equação original em
:
Pela forma geral,
Logo
Segunda condição: obter
. Podemos usar a expressão obtida para
no Passo 3:
Assim, em
a integral é zero e
Por outro lado, derivando a solução geral:
Em
:
Igualando a
:
Passo 8
Substituindo os valores de
e
na solução geral, obtemos a solução explicitamente:
Esta função satisfaz a equação integral original (verificações rápidas: em
dá
; a construção por diferenciação garantiu que a integral foi eliminada corretamente).