5.4 Resolva a equação integral
1+t+\int_{0}^{t} \operatorname{sen} 2(t-\tau) y(\tau) d \tau=y(t)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(t) que satisfaz a equação integral
1+t+\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau = y(t).
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A integral é de Volterra (limite superior t) com núcleo \sin\bigl(2(t-\tau)\bigr).
  • A equação relaciona y(t) com uma integral em [0,t] envolvendo y(\tau).
  • Não há outras condições explícitas além da própria equação; podemos obter condições iniciais avaliando a equação e sua derivada em t=0.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação do método): uma técnica muito útil para equações integrais de Volterra com núcleo do tipo \sin\bigl(2(t-\tau)\bigr) é diferenciar a equação em relação a t. Ao diferenciar, a integral transforma-se em outra integral com núcleo derivado e aparece um termo de avaliação em t. Repetindo a diferenciação uma segunda vez obtemos uma equação diferencial ordinária (EDO) para y sem integrais. Vou aplicar essa ideia passo a passo. Antes de derivar, vou lembrar a regra de Leibniz para derivar uma integral dependente do limite superior e do integrando:
Se F(t)=\int_{0}^{t}K(t,\tau)\,y(\tau)\,d\tau, então
F'(t)=K(t,t)\,y(t)+\int_{0}^{t}\frac{\partial}{\partial t}K(t,\tau)\,y(\tau)\,d\tau.
No nosso caso K(t,\tau)=\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr). Note que podemos ver K também como função de s=t-\tau: K(t,\tau)=\sin(2s) com s=t-\tau. Vou usar essas derivadas com cuidado.

Passo 3

Primeira diferenciação da equação original. Começamos com
y(t)=1+t+\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau.
Aplicando a regra acima:
  • K(t,t)=\sin(2\cdot 0)=\sin 0=0.
  • \frac{\partial}{\partial t}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)=2\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr).
Logo
y'(t)=1+0+\int_{0}^{t}2\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau.
Ou seja,
y'(t)=1+\int_{0}^{t}2\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau.

Passo 4

Segunda diferenciação. Diferenciando a expressão de y'(t):
  • O termo 1 deriva para 0.
  • Para a integral, aplicamos novamente Leibniz:
    • No novo núcleo K_1(t,\tau)=2\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr) temos K_1(t,t)=2\cos 0=2.
    • \frac{\partial}{\partial t}K_1(t,\tau)=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(2\cos(2(t-\tau))\bigr) = -4\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr).
Portanto
y''(t)=2\,y(t)+\int_{0}^{t}\bigl(-4\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau.
Reescrevendo,
y''(t)=2y(t)-4\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau.

Passo 5

Eliminação da integral usando a equação original. Observe que da equação inicial temos
\int_{0}^{t}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau = y(t)-1-t.
Substituindo na expressão de y''(t):
y''(t)=2y(t)-4\bigl(y(t)-1-t\bigr).
Simplificando:
y''(t)=2y(t)-4y(t)+4+4t = -2y(t)+4+4t.
Passando todos os termos para um lado:
y''(t)+2y(t)=4t+4.
Portanto chegamos a uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''+2y=4t+4.

Passo 6

Resolvendo a EDO homogênea associada e encontrando uma particular. A equação homogênea é
y_h''+2y_h=0.
A equação característica é r^2+2=0, com raízes r=\pm i\sqrt{2}. Assim a solução geral da homogênea é
y_h(t)=A\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+B\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.
Para uma solução particular y_p da equação completa com termo do lado direito polinomial 4t+4, tentamos um polinômio de grau 1:
y_p(t)=a t + b.
Calculamos y_p''(t)=0. Substituindo na equação:
0+2(at+b)=4t+4.
Igualando coeficientes de termos em t e constantes:
  • Coeficiente de t: 2a=4 \Rightarrow a=2.
  • Constante: 2b=4 \Rightarrow b=2.
Logo
y_p(t)=2t+2.
A solução geral da EDO é a soma:
y(t)=A\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+B\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+2t+2.

Passo 7

Encontrando A e B pelas condições iniciais extraídas da equação integral.
Primeira condição: avaliar a equação original em t=0:
y(0)=1+0+\int_{0}^{0}\cdots =1.
Pela forma geral,
y(0)=A\cos 0 + B\sin 0 + 0 + 2 = A+2.
Logo
A+2=1 \quad\Rightarrow\quad A=-1.
Segunda condição: obter y'(0). Podemos usar a expressão obtida para y'(t) no Passo 3:
y'(t)=1+\int_{0}^{t}2\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,y(\tau)\,d\tau.
Assim, em t=0 a integral é zero e
y'(0)=1.
Por outro lado, derivando a solução geral:
y'(t) = -A\sqrt{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) + B\sqrt{2}\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) + 2.
Em t=0:
y'(0)= -A\sqrt{2}\cdot 0 + B\sqrt{2}\cdot 1 + 2 = B\sqrt{2}+2.
Igualando a 1:
B\sqrt{2}+2=1 \quad\Rightarrow\quad B\sqrt{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 8

Substituindo os valores de A e B na solução geral, obtemos a solução explicitamente:
y(t)=-\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+2t+2.
Esta função satisfaz a equação integral original (verificações rápidas: em t=0 y(0)=1; a construção por diferenciação garantiu que a integral foi eliminada corretamente).

Resposta

y(t)=-\cos\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr)+2t+2

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