Resolva os problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y=f(t), y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\), em que \(f(t)= \begin{cases}\cos t, & \text { para } 0 \leq t<\pi \\\\ 0, & \text { para } t \geq \pi\end{cases}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Equação diferencial: y''+4y=f(t)\). - Condições iniciais: \(y(0)=0,\; y'(0)=0\). - Força (função de entrada) \(f(t)\) definida por partes: \[f(t)=\begin{cases} \cos t, & 0\le t<\pi,\\[4pt] 0, & t\ge \pi. \end{cases}
  • O que é pedido: encontrar a solução y(t)\] válida para todo \(t\ge 0. Como f(t) é por partes, a solução será por partes: uma expressão para 0\le t<\pi e outra para t\ge\pi, com y e y' contínuas em t=\pi.]

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e entender a estrutura geral da solução.
  • Equação homogênea: y''+4y=0.
  • Equação característica: r^{2}+4=0. Suas raízes são r=\pm 2i.
  • Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais ou de continuidade. Aqui \cos(2t) e \sin(2t) são os modos naturais do sistema (frequência natural 2).

Passo 3

Encontrar uma solução particular para o intervalo 0\le t<\pi (quando f(t)=\cos t).
  • Para 0\le t<\pi temos a equação não homogênea
y''+4y=\cos t.
  • Como o lado direito é \cos t (uma combinação de seno e cosseno com frequência 1), tentamos uma solução particular do tipo
y_{p}(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).
  • Calculamos as derivadas:
y_{p}''(t)=-A\cos t - B\sin t.
  • Substituindo em y''+4y:
y_{p}''+4y_{p}=(-A\cos t - B\sin t) + 4(A\cos t + B\sin t) = 3A\cos t + 3B\sin t.
  • Para que isso seja igual a \cos t precisamos ter
3A=1,\qquad 3B=0.
  • Portanto A=\tfrac{1}{3} e B=0, e
y_{p}(t)=\tfrac{1}{3}\cos t.
Observação didática rápida: não houve ressonância porque a frequência da forçante ( 1) é diferente da frequência natural do homogêneo ( 2). Se fossem iguais teríamos que multiplicar a tentativa por t.

Passo 4

Formar a solução geral para 0\le t<\pi e aplicar as condições iniciais em t=0.
  • Solução geral no intervalo 0\le t<\pi:
y(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\cos t.
  • Avaliando em t=0 usando y(0)=0:
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 + \tfrac{1}{3}\cos 0 = C_{1} + \tfrac{1}{3} = 0,
logo C_{1}=-\tfrac{1}{3}.
  • Derivada geral:
y'(t)=-2C_{1}\sin(2t)+2C_{2}\cos(2t)-\tfrac{1}{3}\sin t.
  • Avaliando em t=0 usando y'(0)=0:
y'(0)= -2C_{1}\cdot 0 + 2C_{2}\cdot 1 - \tfrac{1}{3}\cdot 0 = 2C_{2} = 0,
logo C_{2}=0.
  • Portanto, para 0\le t<\pi temos
y(t)=-\tfrac{1}{3}\cos(2t)+\tfrac{1}{3}\cos t = \tfrac{1}{3}\bigl(\cos t - \cos(2t)\bigr).
Dica prática: é bom simplificar factorando \tfrac{1}{3} para ver a forma clara.

Passo 5

Calcular os dados iniciais para a segunda etapa (em t=\pi) — valores da solução e da derivada vindo pela esquerda.
  • Usamos a fórmula obtida para 0\le t<\pi e avaliamos em t=\pi.
  • Primeiro o valor da função:
y(\pi^{-})=\tfrac{1}{3}\bigl(\cos\pi - \cos(2\pi)\bigr)=\tfrac{1}{3}\bigl(-1 - 1\bigr)= -\tfrac{2}{3}.
  • Agora a derivada; da expressão em 0\le t<\pi,
y'(t)=\tfrac{1}{3}\bigl(-\sin t + 2\sin(2t)\bigr).
Avaliando em t=\pi:
y'(\pi^{-})=\tfrac{1}{3}\bigl(-\sin\pi + 2\sin(2\pi)\bigr)=\tfrac{1}{3}(0+0)=0.
  • Assim os valores de condição em t=\pi para a etapa seguinte são y(\pi)=-\tfrac{2}{3} e y'(\pi)=0. (Aqui usei os limites pela esquerda — a solução é contínua no problema.)
Breve explicação: para equações de segunda ordem com termos descontínuos em f, a solução y e y' são contínuas enquanto y'' pode sofrer salto; por isso usamos continuidade de y e y' para iniciar o segundo intervalo.

Passo 6

Resolver a equação para t\ge \pi (quando f(t)=0) usando as condições em t=\pi.
  • Para t\ge\pi, a equação é homogênea:
y''+4y=0,
cuja solução geral já sabemos:
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t).
  • Impomos y(\pi)= -\tfrac{2}{3} e y'(\pi)=0.
  • Avaliando y(\pi):
y(\pi)=A\cos(2\pi)+B\sin(2\pi)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A = -\tfrac{2}{3}.
  • Derivada:
y'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
Avaliação em t=\pi:
y'(\pi)=-2A\sin(2\pi)+2B\cos(2\pi)=0 + 2B\cdot 1 = 2B = 0,
logo B=0.
  • Portanto, para t\ge\pi,
y(t)=-\tfrac{2}{3}\cos(2t).

Passo 7

Verificação rápida de continuidade e resumo final.
  • Em t=\pi a expressão da esquerda dá y(\pi)= -\tfrac{2}{3} e y'(\pi)=0.
  • A expressão da direita em t=\pi também dá y(\pi)=-\tfrac{2}{3} e y'(\pi)=0. Então y e y' são contínuas em t=\pi, conforme exigido.

Resposta

y(t)=\begin{cases} \tfrac{1}{3}\bigl(\cos t - \cos(2t)\bigr), & 0\le t<\pi,\\[6pt] -\tfrac{2}{3}\cos(2t), & t\ge \pi. \end{cases}]

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