Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Equação diferencial:
- O que é pedido: encontrar a solução
. Como
é por partes, a solução será por partes: uma expressão para e outra para , com e contínuas em .]
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e entender a estrutura geral da solução.
- Equação homogênea:
. - Equação característica:
. Suas raízes são . - Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais ou de continuidade. Aqui
e
são os modos naturais do sistema (frequência natural
).
Passo 3
Encontrar uma solução particular para o intervalo
(quando
).
- Para
temos a equação não homogênea
- Como o lado direito é
(uma combinação de seno e cosseno com frequência ), tentamos uma solução particular do tipo
onde
e
são constantes a determinar (método dos coeficientes indeterminados).
- Calculamos as derivadas:
- Substituindo em
:
- Para que isso seja igual a
precisamos ter
- Portanto
e , e
Observação didática rápida: não houve ressonância porque a frequência da forçante (
) é diferente da frequência natural do homogêneo (
). Se fossem iguais teríamos que multiplicar a tentativa por
.
Passo 4
Formar a solução geral para
e aplicar as condições iniciais em
.
- Solução geral no intervalo
:
- Avaliando em
usando :
logo
.
- Derivada geral:
- Avaliando em
usando :
logo
.
- Portanto, para
temos
Dica prática: é bom simplificar factorando
para ver a forma clara.
Passo 5
Calcular os dados iniciais para a segunda etapa (em
) — valores da solução e da derivada vindo pela esquerda.
- Usamos a fórmula obtida para
e avaliamos em . - Primeiro o valor da função:
- Agora a derivada; da expressão em
,
Avaliando em
:
- Assim os valores de condição em
para a etapa seguinte são e . (Aqui usei os limites pela esquerda — a solução é contínua no problema.)
Breve explicação: para equações de segunda ordem com termos descontínuos em
, a solução
e
são contínuas enquanto
pode sofrer salto; por isso usamos continuidade de
e
para iniciar o segundo intervalo.
Passo 6
Resolver a equação para
(quando
) usando as condições em
.
- Para
, a equação é homogênea:
cuja solução geral já sabemos:
- Impomos
e . - Avaliando
:
- Derivada:
Avaliação em
:
logo
.
- Portanto, para
,
Passo 7
Verificação rápida de continuidade e resumo final.
- Em
a expressão da esquerda dá e . - A expressão da direita em
também dá e . Então e são contínuas em , conforme exigido.