\rightarrow 2.2. Resolva o problema: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\operatorname{sen} t, y(0)=y^{\prime}(0)=0
(a) sem usar transformada de Laplace
(b) usando transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais:
y''-6y'+8y=\sin t,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas: \;y'' é a segunda derivada de y em relação a t, \sin t é o termo forçante (lado direito), e as condições iniciais são \;y(0)=0 e \;y'(0)=0.
A tarefa é encontrar a solução y(t) para todos os t. Vamos resolver de duas formas: (a) sem transformada de Laplace (método dos coeficientes indeterminados) e (b) usando transformada de Laplace.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada (isso dá a solução complementar):
y''-6y'+8y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-6r+8=0.
Resolvendo a quadrática: podemos fatorar (r-2)(r-4)=0. Logo as raízes são r=2 e r=4. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{4t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Justificativa do método de coeficientes indeterminados: o membro direito é \sin t, que é combinação linear de \cos t e \sin t. Como \cos t e \sin t não aparecem entre as soluções exponenciais da homogênea (as raízes não são \pm i), um palpite do tipo
y_p(t)=A\cos t + B\sin t
é adequado para buscar uma solução particular. Aqui A e B são constantes a determinar.
Passo 4
Calcular y_p',y_p''\) e substituir na EDO:
\[y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
y_p'(t)=-A\sin t + B\cos t,
y_p''(t)=-A\cos t - B\sin t.
Substituindo em \;y''-6y'+8y obtemos (agrupando coeficientes de \cos t e \sin t):
(-A\cos t - B\sin t)-6(-A\sin t + B\cos t)+8(A\cos t + B\sin t).
Coeficientes de \cos t:
- A -6B +8A = 7A -6B.
Coeficientes de \sin t:
- B +6A +8B = 6A +7B.
Portanto a expressão vale
(7A-6B)\cos t + (6A+7B)\sin t,
e isso deve ser igual a \sin t = 0\cdot\cos t +1\cdot\sin t. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
Portanto, pela resolução sem transformada de Laplace (método dos coeficientes indeterminados) obtemos
y(t) = -\frac{1}{10}e^{2t} + \frac{1}{34}e^{4t} + \frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\sin t.
Agora vamos refazer usando transformada de Laplace para ver que chegamos ao mesmo resultado.
Passo 8
Breve sobre transformada de Laplace usada aqui:
A transformada de Laplace de y(t) é Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Relembrando propriedades (úteis para equações lineares):
Como y(0)=0 e y'(0)=0, as fórmulas simplificam para \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s) e \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s).
A transformada de \sin t é \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^2+1}.
Aplicando a transformada à EDO:
s^2Y(s)-6sY(s)+8Y(s)=\frac{1}{s^2+1}.
Fatorando Y(s):
Y(s)\bigl(s^2-6s+8\bigr)=\frac{1}{s^2+1}.
Logo
Y(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2-6s+8)}.
Passo 9
Fazer a decomposição em frações parciais. Primeiro fatoramos s^2-6s+8=(s-2)(s-4). Procuramos constantes tais que
Para A usamos a comparação do coeficiente de s^3 na identidade original (ou simplesmente A=-(C+D) obtido do termo s^3):
os coeficientes de s^3 satisfazem A+C+D=0, logo