\rightarrow 2.2. Resolva o problema: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\operatorname{sen} t, y(0)=y^{\prime}(0)=0
(a) sem usar transformada de Laplace
(b) usando transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais:
y''-6y'+8y=\sin t,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
Informações dadas:
\;y'' é a segunda derivada de y em relação a t, \sin t é o termo forçante (lado direito), e as condições iniciais são \;y(0)=0 e \;y'(0)=0.
A tarefa é encontrar a solução y(t) para todos os t. Vamos resolver de duas formas: (a) sem transformada de Laplace (método dos coeficientes indeterminados) e (b) usando transformada de Laplace.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada (isso dá a solução complementar):
y''-6y'+8y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2-6r+8=0.
Resolvendo a quadrática: podemos fatorar (r-2)(r-4)=0. Logo as raízes são r=2 e r=4. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{4t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Justificativa do método de coeficientes indeterminados: o membro direito é \sin t, que é combinação linear de \cos t e \sin t. Como \cos t e \sin t não aparecem entre as soluções exponenciais da homogênea (as raízes não são \pm i), um palpite do tipo
y_p(t)=A\cos t + B\sin t
é adequado para buscar uma solução particular. Aqui A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calcular y_p',y_p''\) e substituir na EDO: \[y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
y_p'(t)=-A\sin t + B\cos t,
y_p''(t)=-A\cos t - B\sin t.
Substituindo em \;y''-6y'+8y obtemos (agrupando coeficientes de \cos t e \sin t):
(-A\cos t - B\sin t)-6(-A\sin t + B\cos t)+8(A\cos t + B\sin t).
Coeficientes de \cos t:
- A -6B +8A = 7A -6B.
Coeficientes de \sin t:
- B +6A +8B = 6A +7B.
Portanto a expressão vale
(7A-6B)\cos t + (6A+7B)\sin t,
e isso deve ser igual a \sin t = 0\cdot\cos t +1\cdot\sin t. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 7A - 6B = 0,\\[4pt] 6A + 7B = 1. \end{cases}
Da primeira equação A=\dfrac{6}{7}B\]. Substituindo na segunda: \[6\cdot\frac{6}{7}B + 7B = 1 \quad\Rightarrow\quad \frac{36}{7}B +7B =1.\] Somando termos obtém-se \(\dfrac{85}{7}B=1, então
B=\frac{7}{85}.
Logo
A=\frac{6}{7}B=\frac{6}{85}.
Assim a solução particular é
y_p(t)=\frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\sin t.]

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{4t}+\frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\sin t.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para encontrar C_1 e C_2.
Calcular y(0):
y(0)=C_1 + C_2 + \frac{6}{85}.
Como y(0)=0, temos
C_1 + C_2 = -\frac{6}{85}. \tag{1}
Calcular y'(t). A derivada de y é
y'(t)=2C_1 e^{2t} + 4C_2 e^{4t} -\frac{6}{85}\sin t + \frac{7}{85}\cos t.
Em t=0 obtemos
y'(0)=2C_1 + 4C_2 + \frac{7}{85}.
Como y'(0)=0, segue
2C_1 + 4C_2 = -\frac{7}{85}. \tag{2}
Resolver o sistema (1) e (2). Multiplicando (1) por 2 2C_1 + 2C_2 = -\dfrac{12}{85}. Subtraindo dessa a equação (2):
(2C_1+4C_2) - (2C_1+2C_2) = -\frac{7}{85} -\left(-\frac{12}{85}\right)
2C_2 = \frac{5}{85} = \frac{1}{17} \quad\Rightarrow\quad C_2=\frac{1}{34}.
Então
C_1 = -\frac{6}{85} - C_2 = -\frac{6}{85} - \frac{1}{34}.
Colocando em denominador comum 170:
C_1 = -\frac{12}{170} - \frac{5}{170} = -\frac{17}{170} = -\frac{1}{10}.

Passo 7

Portanto, pela resolução sem transformada de Laplace (método dos coeficientes indeterminados) obtemos
y(t) = -\frac{1}{10}e^{2t} + \frac{1}{34}e^{4t} + \frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\sin t.
Agora vamos refazer usando transformada de Laplace para ver que chegamos ao mesmo resultado.

Passo 8

Breve sobre transformada de Laplace usada aqui:
A transformada de Laplace de y(t) é Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Relembrando propriedades (úteis para equações lineares):
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),\qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0).
Como y(0)=0 e y'(0)=0, as fórmulas simplificam para \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s) e \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s).
A transformada de \sin t é \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^2+1}.
Aplicando a transformada à EDO:
s^2Y(s)-6sY(s)+8Y(s)=\frac{1}{s^2+1}.
Fatorando Y(s):
Y(s)\bigl(s^2-6s+8\bigr)=\frac{1}{s^2+1}.
Logo
Y(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2-6s+8)}.

Passo 9

Fazer a decomposição em frações parciais. Primeiro fatoramos s^2-6s+8=(s-2)(s-4). Procuramos constantes tais que
\frac{1}{(s^2+1)(s-2)(s-4)}=\frac{As+B}{s^2+1}+\frac{C}{s-2}+\frac{D}{s-4}.
Multiplicando por (s^2+1)(s-2)(s-4) obtemos a identidade
1=(As+B)(s-2)(s-4)+C(s^2+1)(s-4)+D(s^2+1)(s-2).
Usando s=2 e s=4 encontramos C e D rapidamente:
  • Para s=2: 1 = C\,(2^2+1)(2-4)=C\cdot5\cdot(-2)=-10C, então C=-\dfrac{1}{10}.
  • Para s=4: 1 = D\,(4^2+1)(4-2)=D\cdot17\cdot2=34D, então D=\dfrac{1}{34}.
Para A e B podemos usar s=0 para obter uma equação:
  • Para s=0: 1 = B\cdot(-2)\cdot(-4)+C(0^2+1)(0-4)+D(0^2+1)(0-2).
    Isto é
1 = 8B -4C -2D.
Substituindo C=-\dfrac{1}{10} e D=\dfrac{1}{34}
1 = 8B -4\left(-\tfrac{1}{10}\right) -2\left(\tfrac{1}{34}\right) =8B + \frac{2}{5} - \frac{1}{17}.
Calcule \dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{17}=\dfrac{34-5}{85}=\dfrac{29}{85}. Assim
8B + \frac{29}{85}=1 \quad\Rightarrow\quad 8B=\frac{56}{85} \quad\Rightarrow\quad B=\frac{7}{85}.
Para A usamos a comparação do coeficiente de s^3 na identidade original (ou simplesmente A=-(C+D) obtido do termo s^3):
os coeficientes de s^3 satisfazem A+C+D=0, logo
A=-(C+D)= -\Bigl(-\frac{1}{10}+\frac{1}{34}\Bigr)=\frac{6}{85}.
Portanto a decomposição é
Y(s)=\frac{\tfrac{6}{85}s+\tfrac{7}{85}}{s^2+1} -\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{s-2} + \frac{1}{34}\cdot\frac{1}{s-4}.

Passo 10

Aplicar a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2+1}\right\}=\cos t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2+1}\right\}=\sin t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Assim
y(t)=\frac{6}{85}\cos t + \frac{7}{85}\sin t -\frac{1}{10}e^{2t} + \frac{1}{34}e^{4t}.
Este resultado coincide com o obtido pelo método direto dos coeficientes indeterminados, como esperado.

Resposta

y(t)=-\frac{1}{10}e^{2t}+\frac{1}{34}e^{4t}+\frac{6}{85}\cos t+\frac{7}{85}\sin t

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