Resolva o problema de valor inicial y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=21 e^{-3 x}, \quad y(0)=-3, \quad y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • A equação diferencial dada é y''-2y'+5y=21e^{-3x}.
  • As condições iniciais são y(0)=-3,\qquad y'(0)=1.
  • O objetivo é encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Vamos obter a solução geral da equação completa como soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular (da não-homogênea).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+5y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}-2r+5=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=1\pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas 1\pm 2i, a forma da solução complementar (também chamada solução homogênea) é
y_{c}(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Explicação didática curta: raízes a\pm bi geram termos e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx) na solução. Aqui a=1 e b=2.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) para a equação não-homogênea
y''-2y'+5y=21e^{-3x}.
Método escolhido: coeficientes indeterminados (método das tentativas). A ideia é tentar uma forma para y_{p} parecida com o lado direito. O termo do lado direito é 21e^{-3x}, uma exponencial simples. Verificamos se e^{-3x} é solução da homogênea (isto é, se r=-3 é raiz da característica). A característica tem raízes 1\pm2i, portanto -3 não é raiz — sem ressonância. Logo tentamos um particular da forma
y_{p}(x)=A e^{-3x},
onde A é constante a determinar.
Calcule as derivadas:
y_{p}'(x)=-3A e^{-3x},\qquad y_{p}''(x)=9A e^{-3x}.
Substituímos na equação:
y_{p}''-2y_{p}'+5y_{p}=(9A)-2(-3A)+5A \quad\text{multiplicado por }e^{-3x}.
Avaliação dos coeficientes (fatorando e^{-3x}):
9A+6A+5A=20A.
Assim
20A e^{-3x}=21 e^{-3x}\quad\Rightarrow\quad 20A=21.
Logo
A=\frac{21}{20}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=\frac{21}{20}e^{-3x}.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é soma da complementar com a particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)+\frac{21}{20}e^{-3x}.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avaliaremos y(0). Usando e^{0}=1, \cos 0=1, \sin 0=0:
y(0)=C_{1}+\frac{21}{20}.
Pela condição inicial y(0)=-3, obtemos
C_{1}+\frac{21}{20}=-3\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-3-\frac{21}{20}=-\frac{60}{20}-\frac{21}{20}=-\frac{81}{20}.

Passo 6

Agora calculamos y'(x) para aplicar y'(0)=1.
Derivando y(x):
usar produto e derivadas de seno/cosseno. Para y_{c}(x)=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big),
\begin{aligned} y_{c}'(x)&=e^{x}\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big) +e^{x}\big(-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x)\big)\\\ &=e^{x}\Big((C_{1}+2C_{2})\cos(2x)+(C_{2}-2C_{1})\sin(2x)\Big). \end{aligned}
Para o termo particular,
y_{p}'(x)=-3\cdot\frac{21}{20}e^{-3x}=-\frac{63}{20}e^{-3x}.
Então
y'(x)=e^{x}\Big((C_{1}+2C_{2})\cos(2x)+(C_{2}-2C_{1})\sin(2x)\Big)-\frac{63}{20}e^{-3x}.
Avaliaremos em x=0. Como \cos0=1, \sin0=0, e^{0}=1:
y'(0)=C_{1}+2C_{2}-\frac{63}{20}.
Pela condição y'(0)=1, obtemos
C_{1}+2C_{2}-\frac{63}{20}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}+2C_{2}=1+\frac{63}{20}=\frac{20}{20}+\frac{63}{20}=\frac{83}{20}.

Passo 7

Substituímos o valor já encontrado de C_{1} para achar C_{2}. Temos C_{1}=-\dfrac{81}{20}, então
-\frac{81}{20}+2C_{2}=\frac{83}{20}\quad\Rightarrow\quad 2C_{2}=\frac{83}{20}+\frac{81}{20}=\frac{164}{20}=\frac{82}{10}.
Logo
C_{2}=\frac{82}{40}=\frac{41}{20}\cdot 2?\quad\text{(corrigindo simplificação)}.çã
Faça a simplificação correta: \dfrac{164}{20}= \dfrac{82}{10}, então 2C_{2}=\dfrac{82}{10} implica C_{2}=\dfrac{82}{20}=\dfrac{41}{10}.
Portanto
C_{2}=\frac{41}{10}.

Passo 8

Escrevendo a solução final com os valores de C_{1} e C_{2}:
y(x)=e^{x}\!\left(-\frac{81}{20}\cos(2x)+\frac{41}{10}\sin(2x)\right)+\frac{21}{20}e^{-3x}.
Pequena verificação mental: constantes são racionais e a forma combina exponencial crescente e^{x} com termo decrescente e^{-3x}, faz sentido dado os sinais nas raízes característcas e no forçamento.

Resposta

y(x)=e^{x}\!\left(-\frac{81}{20}\cos(2x)+\frac{41}{10}\sin(2x)\right)+\frac{21}{20}e^{-3x}.

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