Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
- A equação diferencial dada é
- As condições iniciais são
- O objetivo é encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Vamos obter a solução geral da equação completa como soma da solução complementar (da homogênea) e de uma solução particular (da não-homogênea).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Resolvendo a quadrática:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma da solução complementar (também chamada solução homogênea) é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação didática curta: raízes
geram termos
e
na solução. Aqui
e
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação não-homogênea
Método escolhido: coeficientes indeterminados (método das tentativas). A ideia é tentar uma forma para
parecida com o lado direito. O termo do lado direito é
, uma exponencial simples. Verificamos se
é solução da homogênea (isto é, se
é raiz da característica). A característica tem raízes
, portanto
não é raiz — sem ressonância. Logo tentamos um particular da forma
onde
é constante a determinar.
Calcule as derivadas:
Substituímos na equação:
Avaliação dos coeficientes (fatorando
):
Assim
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é soma da complementar com a particular:
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro avaliaremos
. Usando
,
,
:
Pela condição inicial
, obtemos
Passo 6
Agora calculamos
para aplicar
.
Derivando
:
usar produto e derivadas de seno/cosseno. Para ,
usar produto e derivadas de seno/cosseno. Para
Para o termo particular,
Então
Avaliaremos em
. Como
,
,
:
Pela condição
, obtemos
Passo 7
Substituímos o valor já encontrado de
para achar
. Temos
, então
Logo
Faça a simplificação correta:
, então
implica
.
Portanto
Passo 8
Escrevendo a solução final com os valores de
e
:
Pequena verificação mental: constantes são racionais e a forma combina exponencial crescente
com termo decrescente
, faz sentido dado os sinais nas raízes característcas e no forçamento.