Usando o conceito de anti-derivada, calcule as integrais das funções
Ramo
da função multivalorada
: desde -1 até 1, ao longo de um caminho que, exceto pelos pontos extremos, se situa acima do eixo real. Dica: Use um outro ramo de
que possua anti-derivada em ao longo do caminho de integração e que coincida com o ramo da integral original ao longo do caminho.
Ramo
Passo 1
O enunciado pede a integral da função ramo
onde o logarítmo é o ramo principal com argumento
. O caminho
vai de
até
e, exceto pelos extremos, fica acima do eixo real (ou seja, aproxima-se de
vindo por cima do eixo real).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função multivalorada é
com usando o ramo principal . - O caminho parte em
e termina em , permanecendo estritamente acima do eixo real para pontos interiores ao caminho. - A dica pede usar um outro ramo de
que tenha anti-derivada ao longo do caminho e que coincida com o ramo original ao longo do caminho de integração.
Passo 2
Ideia de resolução (intuição): se conseguirmos encontrar uma primitiva (anti-derivada)
de
em um domínio que contenha o caminho
, então a integral será simplesmente
. Vamos tentar obter essa primitiva usando a regra de derivação de potências complexas.
Lembra que podemos definir, para um expoente complexo
,
onde
é um ramo do logaritmo escolhido e que seja analítico no domínio considerado. Se esse ramo de
for diferenciável no domínio, então podemos derivar
como segue. Seja
. Então
Como
(quando
é o logaritmo analítico escolhido), obtemos a fórmula
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função definida por usando um ramo fixo de ; - é analítico no domínio em que estamos trabalhando;
- a fórmula vale ponto a ponto nesse domínio.
Portanto, para
temos a primitiva formal
porque
, desde que o ramo usado para definir
seja analítico na vizinhança do caminho
.
Passo 3
Escolha do ramo e justificativa da existência da primitiva no caminho.
O ramo principal com é analítico em menos o semi-eixo real negativo (e o zero). O caminho
, que fica estritamente acima do eixo real (exceto nos pontos finais), está contido em uma região que evita a parte negativa do corte (podemos tomar uma pequena vizinhança do caminho que não cruza o semi-eixo negativo). Assim, o ramo principal de
é válido e analítico ao longo de todo o caminho interiormente, e a função
O ramo principal com é analítico em
com
(usando exatamente o mesmo ramo principal que define
ao longo do caminho) é uma primitiva de
nessa região. Isso atende à dica: escolhemos um ramo (aqui, o ramo que dá
) que é analítico e coincide com o ramo da integral ao longo do caminho.
Observação sobre os extremos: os extremos
e
estão na fronteira desse domínio (em particular,
está sobre o semi-eixo negativo). Ainda assim podemos avaliar
nos extremos por continuidade tomando o limite ao longo do caminho (aproximação por cima do eixo real), que é a forma correta de interpretar a integral de contorno com extremos sobre a linha de corte.
Passo 4
Cálculo dos valores nos extremos usando o ramo adequado (aproximação por cima do eixo real).
Avaliar em : com o ramo principal,
Avaliar em
Avaliar em
aproximando por cima do eixo real: no ramo principal a argumentação imediata por cima dá
(limite por cima), portanto
Assim
Como
, obtemos
Passo 5
Aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha complexas: como
é primitiva de
ao longo de
,
Substituindo os valores encontrados:
Podemos simplificar escrevendo em forma
. Multiplicando numerador e denominador por
(o conjugado de
):