Usando o conceito de anti-derivada, calcule as integrais das funções
Ramo f(z)=e^{i \log z}, \quad(-\pi<\theta<\pi) da função multivalorada z^{i} ; \quad C : desde -1 até 1, ao longo de um caminho que, exceto pelos pontos extremos, se situa acima do eixo real. Dica: Use um outro ramo de z^{i} que possua anti-derivada em ao longo do caminho de integração e que coincida com o ramo da integral original ao longo do caminho.

Passo 1

O enunciado pede a integral da função ramo
f(z)=e^{i\log z}
onde o logarítmo é o ramo principal com argumento -\pi<\theta<\pi. O caminho C vai de -1 até 1 e, exceto pelos extremos, fica acima do eixo real (ou seja, aproxima-se de -1 vindo por cima do eixo real).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função multivalorada é z^{i}=e^{i\log z} com \log z=\ln|z|+i\Arg z usando o ramo principal \Arg z\in(-\pi,\pi).
  • O caminho parte em z=-1 e termina em z=1, permanecendo estritamente acima do eixo real para pontos interiores ao caminho.
  • A dica pede usar um outro ramo de z^{i} que tenha anti-derivada ao longo do caminho e que coincida com o ramo original ao longo do caminho de integração.

Passo 2

Ideia de resolução (intuição): se conseguirmos encontrar uma primitiva (anti-derivada) F de f em um domínio que contenha o caminho C, então a integral será simplesmente F(1)-F(-1). Vamos tentar obter essa primitiva usando a regra de derivação de potências complexas.
Lembra que podemos definir, para um expoente complexo a,
z^{a}=e^{a\Log z},
onde \Log z é um ramo do logaritmo escolhido e que seja analítico no domínio considerado. Se esse ramo de \Log z for diferenciável no domínio, então podemos derivar z^{a} como segue. Seja a\in\mathbb{C}. Então
\frac{d}{dz}z^{a}=\frac{d}{dz}e^{a\Log z}=a e^{a\Log z}\cdot\frac{d}{dz}\Log z.
Como \frac{d}{dz}\Log z=\frac{1}{z} (quando \Log z é o logaritmo analítico escolhido), obtemos a fórmula
\frac{d}{dz}z^{a}=a z^{a-1}.
Aqui cada símbolo significa:
  • z^{a} é a função definida por e^{a\Log z} usando um ramo fixo de \Log;
  • \Log z é analítico no domínio em que estamos trabalhando;
  • a fórmula vale ponto a ponto nesse domínio.
Portanto, para a=i temos a primitiva formal
F(z)=\frac{z^{i+1}}{i+1},
porque \dfrac{d}{dz}F(z)=\dfrac{i+1}{i+1} z^{i}=z^{i}=f(z), desde que o ramo usado para definir z^{i+1} seja analítico na vizinhança do caminho C.

Passo 3

Escolha do ramo e justificativa da existência da primitiva no caminho.
O ramo principal \Log z com \Arg z\in(-\pi,\pi) é analítico em \mathbb{C} menos o semi-eixo real negativo (e o zero). O caminho C, que fica estritamente acima do eixo real (exceto nos pontos finais), está contido em uma região que evita a parte negativa do corte (podemos tomar uma pequena vizinhança do caminho que não cruza o semi-eixo negativo). Assim, o ramo principal de \Log z é válido e analítico ao longo de todo o caminho interiormente, e a função
F(z)=\frac{z^{i+1}}{i+1}
com z^{i+1}=e^{(i+1)\Log z} (usando exatamente o mesmo ramo principal que define f ao longo do caminho) é uma primitiva de f nessa região. Isso atende à dica: escolhemos um ramo (aqui, o ramo que dá z^{i+1}) que é analítico e coincide com o ramo da integral ao longo do caminho.
Observação sobre os extremos: os extremos z=-1 e z=1 estão na fronteira desse domínio (em particular, -1 está sobre o semi-eixo negativo). Ainda assim podemos avaliar F nos extremos por continuidade tomando o limite ao longo do caminho (aproximação por cima do eixo real), que é a forma correta de interpretar a integral de contorno com extremos sobre a linha de corte.

Passo 4

Cálculo dos valores nos extremos usando o ramo adequado (aproximação por cima do eixo real).
Avaliar em z=1: com o ramo principal,
\Log(1)=0\quad\Rightarrow\quad 1^{\,i+1}=e^{(i+1)\cdot 0}=1.
Avaliar em z=-1 aproximando por cima do eixo real: no ramo principal a argumentação imediata por cima dá \Arg(-1)=\pi (limite por cima), portanto
\Log(-1)=\ln|{-1}|+i\pi = i\pi.
Assim
(-1)^{\,i+1}=e^{(i+1)\Log(-1)}=e^{(i+1)i\pi}=e^{(i^2+i)\pi}=e^{(-1+i)\pi}=e^{-\pi}e^{i\pi}.
Como e^{i\pi}=-1, obtemos
(-1)^{\,i+1}=-e^{-\pi}.

Passo 5

Aplicar o teorema fundamental do cálculo para integrais de linha complexas: como F é primitiva de f ao longo de C,
\int_{C} f(z)\,dz=F(1)-F(-1)=\frac{1^{\,i+1}}{i+1}-\frac{(-1)^{\,i+1}}{i+1}.
Substituindo os valores encontrados:
\int_{C} e^{i\log z}\,dz=\frac{1-(-e^{-\pi})}{i+1}=\frac{1+e^{-\pi}}{i+1}.
Podemos simplificar escrevendo em forma a+ib. Multiplicando numerador e denominador por 1-i (o conjugado de 1+i):
\int_{C} e^{i\log z}\,dz=\frac{1+e^{-\pi}}{i+1}=\frac{1+e^{-\pi}}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{1+e^{-\pi}}{2}(1-i).

Resposta

\int_{C} e^{i\log z}\,dz=\frac{1+e^{-\pi}}{i+1}=\frac{1+e^{-\pi}}{2}\,(1-i)

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