Questão 2 Calcule a integral por substituição:
g(t)=\int_{\sqrt{\pi}}^{t} \frac{x \cos \left(x^{2}\right) d x}{\sqrt{4+\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}}

Passo 1

O enunciado dá a função definida por integral
g(t)=\int_{\sqrt{\pi}}^{t}\frac{x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx}{\sqrt{\,4+\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,}}.
Informações e pedidos claros (peguei estes elementos do enunciado):
  • A variável de integração é x.
  • O limite inferior é x=\sqrt{\pi}.
  • O limite superior é x=t.
  • O integrando é \dfrac{x\cos\bigl(x^{2}\bigr)}{\sqrt{\,4+\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)\,}}. Aqui a notação \operatorname{sen} do enunciado corresponde à função seno, que em TeX escrevo como \sin.
  • O objetivo é calcular explicitamente g(t) em termos de t (ou seja, avaliar a integral definida em função de t).

Passo 2

Identificar uma substituição adequada. Estratégia: procurar uma função interna cuja derivada apareça (até constante) no integrando. Note que a parte dentro da raiz é 4+\sin\bigl(x^{2}\bigr). Calculo a derivada de \sin\bigl(x^{2}\bigr) usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sin\bigl(x^{2}\bigr)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=\cos\bigl(x^{2}\bigr)\cdot 2x = 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Isto mostra que x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx é exatamente \tfrac{1}{2}\,d\bigl(\sin(x^{2})\bigr). Portanto a substituição natural é
u=4+\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Então,
du = 2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx \quad\Rightarrow\quad x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx=\frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Trocar a integral para a variável u, transformando também os limites (porque é integral definida). Quando x=\sqrt{\pi}:
u=4+\sin\bigl((\sqrt{\pi})^{2}\bigr)=4+\sin(\pi)=4+0=4.
Quando x=t:
u=4+\sin\bigl(t^{2}\bigr).
Substituindo no integrando e usando x\cos(x^{2})\,dx=\tfrac{1}{2}du, obtemos
g(t)=\int_{u=4}^{u=4+\sin(t^{2})}\frac{1}{\sqrt{u}}\cdot\frac{1}{2}\,du =\frac{1}{2}\int_{4}^{\,4+\sin(t^{2})}u^{-\tfrac{1}{2}}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u. A primitiva de u^{-1/2} é 2u^{1/2}, pois ao derivar 2u^{1/2} obtém-se u^{-1/2}. Logo,
\frac{1}{2}\int u^{-\tfrac{1}{2}}\,du=\frac{1}{2}\cdot 2u^{\tfrac{1}{2}}=u^{\tfrac{1}{2}}.
Aplicando aos limites:
g(t)=\bigl[u^{\tfrac{1}{2}}\bigr]_{u=4}^{u=4+\sin(t^{2})} =\sqrt{\,4+\sin(t^{2})\,}-\sqrt{4}.
Como \sqrt{4}=2, obtemos
g(t)=\sqrt{\,4+\sin(t^{2})\,}-2.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática para prova): derivar a expressão encontrada para ver se recupera o integrando (Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia). Calcule
\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{4+\sin(t^{2})}-2\bigr) =\frac{1}{2\sqrt{4+\sin(t^{2})}}\cdot\cos(t^{2})\cdot 2t =\frac{t\cos(t^{2})}{\sqrt{4+\sin(t^{2})}},
que é exatamente o integrando avaliado em x=t. Portanto a expressão está correta. Dica geral: sempre que vir algo do tipo f'(x) multiplicando uma função de f(x), pense em substituição u=f(x).

Resposta

\sqrt{4+\sin(t^{2})}-2

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