Questão 2 Calcule a integral por substituição:
Passo 1
O enunciado dá a função definida por integral
Informações e pedidos claros (peguei estes elementos do enunciado):
- A variável de integração é
. - O limite inferior é
. - O limite superior é
. - O integrando é
. Aqui a notação do enunciado corresponde à função seno, que em TeX escrevo como . - O objetivo é calcular explicitamente
em termos de (ou seja, avaliar a integral definida em função de ).
Passo 2
Identificar uma substituição adequada. Estratégia: procurar uma função interna cuja derivada apareça (até constante) no integrando. Note que a parte dentro da raiz é
. Calculo a derivada de
usando a regra da cadeia:
Isto mostra que
é exatamente
. Portanto a substituição natural é
Então,
Passo 3
Trocar a integral para a variável
, transformando também os limites (porque é integral definida). Quando
:
Quando
:
Substituindo no integrando e usando
, obtemos
Passo 4
Calcular a integral em
. A primitiva de
é
, pois ao derivar
obtém-se
. Logo,
Aplicando aos limites:
Como
, obtemos
Passo 5
Verificação rápida (boa prática para prova): derivar a expressão encontrada para ver se recupera o integrando (Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia). Calcule
que é exatamente o integrando avaliado em
. Portanto a expressão está correta. Dica geral: sempre que vir algo do tipo
multiplicando uma função de
, pense em substituição
.