Use o Teste da Razão ou da Raiz para determinar se a série converge ou diverge ou se o teste é inconclusivo, nos seguintes casos:
sumn=1^+infty (-1)^n(n!)^n(n^n)^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Razão ou da Raiz para analisar a série
sumn=1^+infty (-1)^n(n!)^nl(n^nr)^2
O conteúdo aqui é séries numéricas e, em particular, testes de convergência. Como o termo geral já envolve uma potência de índice, o Teste da Raiz tende a ser mais simples de aplicar.

Passo 2

No Teste da Raiz, definimos
L = limsupntoinfty raiz[n]l|anr|
onde
an = (-1)^n(n!)^n(n^n)^2
Se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 diverge e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculemos raiz[n]|an|. Primeiro
|an| = (n!)^nn^2n = l(n!n^2r)^n
Logo
raiz[n]|an| = n!n^2

Passo 4

Para avaliar
limntoinftyn!n^2, note que n! cresce super-exponencialmente. Usando a fórmula de Stirling
n! sim raiz2pi n,l(ner)^n,
temos
n!n^2 sim raiz2pi n,(n/e)^nn^2 =raiz2pi n;n^ne^n,n^2 =raiz2pi n;n^,n-2e^n,
e claramente isso tende a +infty quando ntoinfty.

Passo 5

Logo
L = limsupntoinftyraiz[n]|an| = +infty > 1
Pelo Teste da Raiz, a série diverge (e diverge até mesmo em valor absoluto).

Resposta

A série diverge pelo Teste da Raiz.

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