Resolva o problema de valor inicial
usando Transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado diz para resolver a equação diferencial
usando a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos precisar aplicar essa transformada nas duas partes da equação (homogênea e não homogênea) e usar as condições iniciais para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas das derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 17 $:
Simplificando os termos:
Reunindo os termos com $ Y(s) $:
Passo 4
Vamos isolar $ Y(s) $:
Sabemos que $ s^{2} - 6s + 9 = (s - 3)^{2} $, então podemos escrever:
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de $ t^{2} e^{3 t} $. Usando a propriedade:
Para $ n = 2 $ e $ a = 3 $:
Substituindo de volta:
Mas para simplificar, vamos manter a fração separada:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
Aplicando isso aos termos de $ Y(s) $:
- Para $ \frac{2}{(s - 3)^{5}} $:
- Para $ \frac{2s + 5}{(s - 3)^{2}} $, podemos reescrever:
Então:
Agora, aplicando a Transformada Inversa:
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{2}{(s - 3)}\right} = 2 e^{3 t} $
- $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{11}{(s - 3)^{2}}\right} = 11 t e^{3 t} $
Resposta
Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
Ou, de forma simplificada: