Resolva o problema de valor inicial y^prime prime-6 y^prime+9 y=t^2 e^3 t, y(0)=2, y^prime(0)=17 usando Transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado diz para resolver a equação diferencial
y'' - 6 y' + 9 y = t^2 e^3 t, y(0) = 2, y'(0) = 17
usando a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução. Vamos precisar aplicar essa transformada nas duas partes da equação (homogênea e não homogênea) e usar as condições iniciais para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' - 6 Ly' + 9 Ly = Lt^2 e^3 t
Substituindo as transformadas das derivadas:
(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) - 6 (s Y(s) - y(0)) + 9 Y(s) = Lt^2 e^3 t

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = 17 $:
y(0) = 2
Simplificando os termos:
y'(0) = 17
Reunindo os termos com $ Y(s) $:
(s^2 Y(s) - s cdot 2 - 17) - 6 (s Y(s) - 2) + 9 Y(s) = Lt^2 e^3 t

Passo 4

Vamos isolar $ Y(s) $:
Y(s)
Sabemos que $ s^{2} - 6s + 9 = (s - 3)^{2} $, então podemos escrever:
(s^2 - 6s + 9) Y(s) = Lt^2 e^3 t + 2s + 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de $ t^{2} e^{3 t} $. Usando a propriedade:
Para $ n = 2 $ e $ a = 3 $:
Substituindo de volta:
Mas para simplificar, vamos manter a fração separada:
s^2 - 6s + 9 = (s - 3)^2

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
y(t)
Aplicando isso aos termos de $ Y(s) $:
  1. Para $ \frac{2}{(s - 3)^{5}} $:
L^-11(s - a)^n = t^n-1 e^a t(n-1)!
  1. Para $ \frac{2s + 5}{(s - 3)^{2}} $, podemos reescrever:
Y(s)
Então:
2(s - 3)^5
Agora, aplicando a Transformada Inversa:
  • $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{2}{(s - 3)}\right} = 2 e^{3 t} $
  • $ \mathcal{L}^{-1}\left{\frac{11}{(s - 3)^{2}}\right} = 11 t e^{3 t} $

Resposta

Juntando tudo, a solução da equação diferencial é:
y(t) = t^4 e^3 t12 + 2 e^3 t + 11 t e^3 t
Ou, de forma simplificada:
y(t) = e^3 t ( t^412 + 11 t + 2 )

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