Calcule as integrais a seguir.
integral 3 xx^2+4 d x;

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral integral 3xx^2+4 , dx. Esse tipo de problema está ligado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Pra resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão para aplicar a substituição corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador x^2 + 4. Note que se a gente derivar x^2 + 4 em relação a x, a derivada é 2x. Isso é útil porque no numerador a gente tem 3x, que é parecido com 2x. A ideia é ajustar a expressão para que a parte que vai virar nossa substituição esteja presente.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição. Seja u = x^2 + 4. Agora, derivamos u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Isso significa que x , dx = du2. Mas na nossa integral a gente tem 3x , dx, então ajustamos para combinar:
3x , dx = 32 , du

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral 3xx^2 +4 , dx = integral 32 , duu = 32 integral 1u , du

Passo 5

Agora, a integral integral 1u , du é uma integral padrão que resulta no logaritmo natural:
integral 1u , du = ln|u| + C
Então, substituindo de volta:
32 ln|u| + C = 32 ln|x^2 +4| + C

Resposta

A integral integral 3xx^2+4 , dx é igual a 32 ln|x^2 +4| + C.

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