Calcule as integrais a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolve frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Podemos colocar um
em evidência:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
e
. Expandindo a equação:
Agrupando os termos com
:
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então:
Passo 5
Sabendo que
, substituímos na primeira equação para encontrar
:
Então, a decomposição fica:
Passo 6
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
A integral de
é
. Para a segunda parte, fazemos uma substituição simples:
Então:
Passo 8
Juntando tudo, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.