Calcule as integrais a seguir.
integral 12 x^2+x d x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 12x^2 + x , dx. Esse exercício está no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolve frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em termos mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^2 + x. Podemos colocar um x em evidência:
2x^2 + x = x(2x + 1)
Então, a integral fica:
integral 1x(2x + 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Queremos escrever:
1x(2x + 1) = Ax + B2x + 1
Multiplicando ambos os lados por x(2x + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(2x + 1) + Bx

Passo 4

Agora, vamos resolver para A e B. Expandindo a equação:
1 = 2A x + A + Bx
Agrupando os termos com x:
1 = (2A + B)x + A
Para que essa igualdade valha para todo x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então:
2A + B = 0 (coeficiente de x)
A = 1 (termo constante)

Passo 5

Sabendo que A = 1, substituímos na primeira equação para encontrar B:
2(1) + B = 0 implies B = -2
Então, a decomposição fica:
1x(2x + 1) = 1x - 22x + 1

Passo 6

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( 1x - 22x + 1 ) dx
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

A integral de 1x é ln|x|. Para a segunda parte, fazemos uma substituição simples:
u = 2x + 1 implies du = 2 dx implies dx = du2
Então:
integral 22x + 1 , dx = integral 2u cdot du2 = integral 1u , du = ln|u| = ln|2x + 1|

Passo 8

Juntando tudo, a integral fica:
ln|x| - ln|2x + 1| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

ln|x| - ln|2x + 1| + C

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