Seja f: R R definida por f(x)=sen(x). Determine:
O volume obtido pela rotação da região limitada entre f e a reta r: y=-1 em relação ao eixo Oy com 0 <= x <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \sin(x) $ e a reta $ r: y = -1 $. Queremos descobrir o volume que a gente forma ao girar a região entre essas duas curvas em torno do eixo $ Oy $ (o eixo y), no intervalo de $ x $ de 0 a $ \pi $. Vamos usar cálculo, especificamente integrais, pra achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, precisamos visualizar a região que vamos girar. Temos a curva $ y = \sin(x) $ e a reta horizontal $ y = -1 $. Entre $ x = 0 $ e $ x = \pi $, o seno varia de 0 até 1 e de volta para 0. A reta $ y = -1 $ fica abaixo disso.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo $ Oy $ (eixo y), é mais fácil usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método envolve integrar em relação a $ x $, somando pequenos cilindros formados pela rotação de cada fatia vertical da região.

Passo 4

A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
V = 2pi integrala^b x cdot [f(x) - g(x)] , dx
Aqui, $ f(x) $ é a função de cima ($ \sin(x) $) e $ g(x) $ é a função de baixo ($ -1 $). $ x $ representa a distância do eixo de rotação.

Passo 5

Vamos identificar os limites de integração:
  • $ a = 0 $
  • $ b = \pi $
Substituindo na fórmula:
a = 0

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
V = 2pi integral0^pi x sin(x) , dx + 2pi integral0^pi x cdot 1 , dx
Isso se divide em duas integrais que vamos resolver separadamente.

Passo 7

Primeira integral: $ \int_{0}^{\pi} x \sin(x) , dx $
Usamos a integração por partes, onde:
  • $ u = x $ → $ du = dx $
  • $ dv = \sin(x) , dx $ → $ v = -\cos(x) $
Então:
integral0^pi x sin(x) , dx
Avaliado de 0 a $ \pi $:
u = x

Passo 8

Segunda integral: $ \int_{0}^{\pi} x , dx $
Essa é uma integral básica:
integral0^pi x , dx
Avaliado de 0 a $ \pi $:
integral x , dx = x^22 + C

Passo 9

Agora, juntando as duas integrais no cálculo do volume:
V = 2pi ( pi + pi^22 ) = 2pi cdot ( pi + pi^22 ) = 2pi^2 + pi^3

Resposta

O volume obtido pela rotação da região limitada entre $ f(x) = \sin(x) $ e a reta $ y = -1 $ em relação ao eixo $ Oy $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \pi $ é $ V = 2\pi^2 + \pi^3 $.

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