Seja
definida por
. Determine:
O volume obtido pela rotação da região limitada entre
e a reta
em relação ao eixo Oy com
.
O volume obtido pela rotação da região limitada entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \sin(x) $ e a reta $ r: y = -1 $. Queremos descobrir o volume que a gente forma ao girar a região entre essas duas curvas em torno do eixo $ Oy $ (o eixo y), no intervalo de $ x $ de 0 a $ \pi $. Vamos usar cálculo, especificamente integrais, pra achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, precisamos visualizar a região que vamos girar. Temos a curva $ y = \sin(x) $ e a reta horizontal $ y = -1 $. Entre $ x = 0 $ e $ x = \pi $, o seno varia de 0 até 1 e de volta para 0. A reta $ y = -1 $ fica abaixo disso.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo $ Oy $ (eixo y), é mais fácil usar o método dos cilindros (também conhecido como método das cascas cilíndricas). Esse método envolve integrar em relação a $ x $, somando pequenos cilindros formados pela rotação de cada fatia vertical da região.
Passo 4
A fórmula para o volume usando o método dos cilindros é:
Aqui, $ f(x) $ é a função de cima ($ \sin(x) $) e $ g(x) $ é a função de baixo ($ -1 $). $ x $ representa a distância do eixo de rotação.
Passo 5
Vamos identificar os limites de integração:
- $ a = 0 $
- $ b = \pi $
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Isso se divide em duas integrais que vamos resolver separadamente.
Passo 7
Primeira integral: $ \int_{0}^{\pi} x \sin(x) , dx $
Usamos a integração por partes, onde:
- $ u = x $ → $ du = dx $
- $ dv = \sin(x) , dx $ → $ v = -\cos(x) $
Então:
Avaliado de 0 a $ \pi $:
Passo 8
Segunda integral: $ \int_{0}^{\pi} x , dx $
Essa é uma integral básica:
Avaliado de 0 a $ \pi $:
Passo 9
Agora, juntando as duas integrais no cálculo do volume:
Resposta
O volume obtido pela rotação da região limitada entre $ f(x) = \sin(x) $ e a reta $ y = -1 $ em relação ao eixo $ Oy $ no intervalo de $ 0 \leq x \leq \pi $ é $ V = 2\pi^2 + \pi^3 $.