Resolva as equações diferencias:
y^prime+2 y=e^(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear
y' + 2y = e^2x
Aqui o conteúdo é método do fator integrante. Vamos encontrar um fator mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por mu(x), o lado esquerdo fique na forma de derivada de mu(x)y.

Passo 2

Calculamos o fator integrante como
mu(x) = expl(integral 2,dxr) = e^2x

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x)=e^2x obtemos
e^2xy' + 2e^2xy = e^2xcdot e^2x = e^4x
O lado esquerdo reconhece-se como derivada de e^2xy, ou seja,
ddxl(e^2xyr) = e^4x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(e^2xyr),dx = integral e^4x,dx Longrightarrow e^2xy = e^4x4 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^2x:
y(x) = e^4x4,e^2x + C,e^-2x = 14e^2x + C e^-2x

Resposta

boxedy(x) = 14e^2x + C e^-2x,
com C constante arbitrária.

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