1. Resolva o problema de valor inicial (PVI) y^{\prime}+\frac{y}{x}=e^{x^{2}}, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pela condição inicial. Dados fornecidos:
y'+\frac{y}{x}=e^{x^{2}}
e
y(1)=0.
O que é pedido: determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x no domínio apropriado e que, além disso, verifica y(1)=0.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y'+P(x)\,y=Q(x),
onde, aqui, identificamos
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=e^{x^{2}}.
Agora vou aplicar o método do fator integrante. Uma breve explicação do porquê: o fator integrante \mu(x) é uma função que, multiplicando toda a equação, transforma o lado esquerdo em uma derivada de produto (\mu y)'. A receita é calcular
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Nessa fórmula, \int P(x)\,dx é uma primitiva de P; o exponencial garante que \mu satisfaz \mu'=\mu P, o que é exatamente a condição para que (\mu y)'=\mu y'+\mu' y=\mu(y'+P y).

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Como a condição inicial é dada em x=1 (positivo), podemos escolher a versão positiva do fator integrante para trabalhar no arco em que x>0, ou seja
\mu(x)=x\quad\text{(para \(x>0\)).}

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x:
x y' + y = x e^{x^{2}}.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x y, pois
(xy)'=x y' + y.
Portanto a equação fica
(xy)' = x e^{x^{2}}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (xy)'\,dx = \int x e^{x^{2}}\,dx.
A integral do lado esquerdo é xy mais uma constante. Para a integral do lado direito fazemos a substituição u=x^{2}, então du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C.
Logo
x y = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C.

Passo 6

Isolamos y:
y(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{2}e^{x^{2}} + C\right)=\frac{1}{2x}e^{x^{2}}+\frac{C}{x}.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1:
0 = y(1)=\frac{1}{2\cdot 1}e^{1^{2}}+\frac{C}{1}=\frac{1}{2}e + C.
Logo
C=-\frac{1}{2}e.

Passo 8

Substituímos C na expressão geral de y(x):
y(x)=\frac{1}{2x}e^{x^{2}}+\frac{-\tfrac{1}{2}e}{x}=\frac{1}{2x}\bigl(e^{x^{2}}-e\bigr).
Comentário sobre domínio: esta solução foi obtida assumindo x>0 (por causa do fator integrante x escolhido); como a condição inicial está em x=1, a solução válida no intervalo que contém 1 é para x>0.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcule y'+\dfrac{y}{x} a partir de
y(x)=\frac{1}{2x}\bigl(e^{x^{2}}-e\bigr)
e confirme que dá e^{x^{2}}. Isso confirma que a solução encontrada realmente satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2x}\bigl(e^{x^{2}}-e\bigr),\quad x>0

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