- Resolva o problema de valor inicial (PVI)
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial dado pela equação diferencial e pela condição inicial. Dados fornecidos:
e
O que é pedido: determinar a função
que satisfaz a equação diferencial para
no domínio apropriado e que, além disso, verifica
.
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
onde, aqui, identificamos
Agora vou aplicar o método do fator integrante. Uma breve explicação do porquê: o fator integrante
é uma função que, multiplicando toda a equação, transforma o lado esquerdo em uma derivada de produto
. A receita é calcular
Nessa fórmula,
é uma primitiva de
; o exponencial garante que
satisfaz
, o que é exatamente a condição para que
.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
:
Como a condição inicial é dada em
(positivo), podemos escolher a versão positiva do fator integrante para trabalhar no arco em que
, ou seja
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
mais uma constante. Para a integral do lado direito fazemos a substituição
, então
e
. Assim
Logo
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Logo
Passo 8
Substituímos
na expressão geral de
:
Comentário sobre domínio: esta solução foi obtida assumindo
(por causa do fator integrante
escolhido); como a condição inicial está em
, a solução válida no intervalo que contém
é para
.
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): calcule
a partir de
e confirme que dá
. Isso confirma que a solução encontrada realmente satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.