(a) Verifique que as funções y_{1}(x)=\cos x e y_{2}(x)=\operatorname{sen} x são soluções LI de (1);
(b) Encontre a solução geral, y_{H}, de (1);
(c) Encontre uma solução particular, y_{P}, de (2);
(d) Determine a única solução, y, de (2) tal que
(a) verificar que y_{1}(x)=\cos x e y_{2}(x)=\sin x são soluções LI de (1);
(b) encontrar a solução geral y_{H} da equação homogênea (1);
(c) encontrar uma solução particular y_{P} da equação não homogenea (2);
(d) determinar a única solução de (2) que satisfaz as condições iniciais
y(0)=y'(0)=y''(0)=1.
Informações relevantes dadas: as duas equações, as funções candidatas \cos x e \sin x, e o termo forçante da segunda equação x^{2}+2x+1. A resolução começará a partir daqui.
Passo 2
Verificar que y_{1}(x)=\cos x e y_{2}(x)=\sin x são soluções da equação (1).
As raízes são r=-1 e r^{2}+1=0\Rightarrow r=\pm i.
Cada raiz real simples r=-1 dá solução e^{-x}. Cada par de raízes complexas conjugadas \pm i dá as soluções reais \cos x e \sin x. Portanto um sistema fundamental de soluções é
\cos x,\qquad \sin x,\qquad e^{-x}.
Logo a solução geral da homogênea (1) é
y_{H}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + C_{3}e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
Passo 4
Procurar uma solução particular [y_{P}) de (2) usando o método dos coeficientes indeterminados.
O termo forçante é um polinômio de grau 2: x^{2}+2x+1. A regra prática: tentar uma solução particular da mesma forma (polinômio de grau 2),
y_{P}(x)=ax^{2}+bx+c,
a menos que esse polinômio já pertença ao espaço das soluções da homogênea (o que exigiria multiplicar por x). Aqui as soluções homogêneas são \cos,\sin,e^{-x}, nenhuma delas é polinomial, então não há conflito.
Da (A): C_{1}=2-C_{3}=2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Da (B): C_{2}=1+C_{3}=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Portanto C_{1}=C_{2}=\tfrac{3}{2} e C_{3}=\tfrac{1}{2}.
Passo 7
Escrever a solução final que satisfaz as condições iniciais, substituindo as constantes encontradas:
y(x)=\tfrac{3}{2}\cos x + \tfrac{3}{2}\sin x + \tfrac{1}{2}e^{-x} + x^{2}-1.
Resposta
(a) As funções \cos x e \sin x satisfazem (1) e são LI (Wronskiano 1).
(b) \displaystyle y_{H}(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + C_{3}e^{-x}.
(c) \displaystyle y_{P}(x)=x^{2}-1.
(d) \displaystyle y(x)=\tfrac{3}{2}\cos x + \tfrac{3}{2}\sin x + \tfrac{1}{2}e^{-x} + x^{2}-1.