Suponha que os vetores dados são soluções de um sistema da forma X^prime=A X. Verifique se eles formam um conjunto fundamental de soluções.
X1=(c1 6 -13), X2=(c1 -2 -1) e^-4 t e X3=(c2 3 -2) e^3 t

Passo 1

O enunciado dá três soluções de dot X=A X, a saber
X1(t)=16-13, X2(t)=1-2-1e^-4t, X3(t)=23-2e^3t,
e pede para verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções, isto é, se são linearmente independentes. Para isso vamos usar o wronskiano.

Passo 2

Definimos a matriz fundamental Phi(t) cujas colunas são X1(t),X2(t),X3(t):
Phi(t)=l[X1(t);;X2(t);;X3(t)r] = 1 & e^-4t & 2e^3t 6 & -2e^-4t & 3e^3t -13 & -e^-4t & -2e^3t
O wronskiano é
W(t)=detPhi(t)

Passo 3

Observe que podemos fatorar os expoentes das colunas 2 e 3:
W(t) =det1 & e^-4t & 2e^3t6 & -2e^-4t & 3e^3t-13 & -e^-4t & -2e^3t =e^-4te^3tdet1&1&26&-2&3-13&-1&-2
Agora calculemos
det M =det1&1&26&-2&3-13&-1&-2 =1l((-2)(-2)-3(-1)r) -1l(6(-2)-3(-13)r) +2l(6(-1)-(-2)(-13)r)
Fazendo as contas:
(-2)(-2)-3(-1)=4+3=7, 6(-2)-3(-13)=-12+39=27, 6(-1)-(-2)(-13)=-6-26=-32
Logo
det M=1cdot7-1cdot27+2cdot(-32)=7-27-64=-84neq0

Passo 4

Substituindo em W(t) temos
W(t)=e^-4te^3t(-84)=-84,e^-t
Como -84,e^-tneq0 para todo t, o wronskiano nunca se anula e, portanto, X1,X2,X3 são linearmente independentes.

Resposta

Sim, X1,X2,X3 formam um conjunto fundamental de soluções.

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