Suponha que os vetores dados são soluções de um sistema da forma
. Verifique se eles formam um conjunto fundamental de soluções.
e
X3=(c2 3 -2) e^3 t
Passo 1
O enunciado dá três soluções de
dot X=A X , a saber
e pede para verificar se elas formam um conjunto fundamental de soluções, isto é, se são linearmente independentes. Para isso vamos usar o wronskiano.
Passo 2
Definimos a matriz fundamental
Phi(t) cujas colunas são
X1(t),X2(t),X3(t) :
O wronskiano é
Passo 3
Observe que podemos fatorar os expoentes das colunas 2 e 3:
Agora calculemos
Fazendo as contas:
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Passo 4
Substituindo em
W(t) temos
Como
-84,e^-tneq0 para todo
t , o wronskiano nunca se anula e, portanto,
X1,X2,X3 são linearmente independentes.
Resposta
Sim,
X1,X2,X3 formam um conjunto fundamental de soluções.