Resolva o problema de valor inicial y^prime prime+w^2 y=F0 sen gamma, em que F0 é constante e w neq gamma, y(0)=0 e y^prime(0)=0. Depois que encontrar a solução final (usando o PVI ), calcule o limite de y(t) pata t tendendo ao infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . Esse tipo de problema é conhecido como Problema de Valor Inicial (PVI). A gente precisa achar a função que satisfaz a equação e também atende às condições iniciais e . Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento externo (no caso, ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é yh(t) = A cos(w t) + B sin(w t) . A solução geral dessa equação é da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa 0 + w^2 yp = F0 sin gamma . Como o lado direito é yp = F0 sin gammaw^2 , que é uma função constante, vamos supor uma solução particular constante .
Substituindo na equação:
Resolvendo para :

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp = A cos(w t) + B sin(w t) + F0 sin gammaw^2

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar y(0) = A cos(0) + B sin(0) + F0 sin gammaw^2 = A + 0 + F0 sin gammaw^2 = 0 e A = -F0 sin gammaw^2 .
Primeiro, com y'(t) = -A w sin(w t) + B w cos(w t) :
y'(0) = -A w sin(0) + B w cos(0) = 0 + B w = 0
Isso dá:
B = 0
Segundo, vamos derivar para achar :
Aplicando :
Isso dá:

Passo 6

Substituindo y(t) = -F0 sin gammaw^2 cos(w t) + 0 + F0 sin gammaw^2 = F0 sin gammaw^2 (1 - cos(w t)) e na solução geral:

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = F0 sin gammaw^2 (1 - cos(w t))
E o limite de limt to infty y(t) = F0 sin gammaw^2 quando tende ao infinito é:
Porque oscila entre -1 e 1, então a média a longo prazo do termo oscilante é zero.

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