Resolva o problema de valor inicial
, em que
é constante e
e
. Depois que encontrar a solução final (usando o PVI ), calcule o limite de
pata
tendendo ao infinito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. Esse tipo de problema é conhecido como Problema de Valor Inicial (PVI). A gente precisa achar a função
que satisfaz a equação e também atende às condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento externo (no caso,
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação é da forma:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é
, que é uma função constante, vamos supor uma solução particular constante
.
Substituindo
na equação:
Resolvendo para
:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, com
:
Isso dá:
Segundo, vamos derivar
para achar
:
Aplicando
:
Isso dá:
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral:
Resposta
A solução do PVI é:
E o limite de
quando
tende ao infinito é:
Porque
oscila entre -1 e 1, então a média a longo prazo do termo oscilante é zero.