Resolva o problema de valor inicial:
y^prime prime+y^prime-20 y=0, y(ln 2)=-3 e y^prime(ln 2)=3

Passo 1

O problema é um PVI (problema de valor inicial) do tipo equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes:
queremos achar a função y(x) tal que y''+y'-20y=0 e que satisfaça y(ln2)=-3 e y'(ln2)=3. Vamos usar a teoria de equações características e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para resolver a equação homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 + r - 20 = 0
Resolvendo-a, temos
r = -1 pm raiz1 + 802 = -1 pm 92 implies r1 = 4, r2 = -5

Passo 3

Como as raízes r1 e r2 são distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = C1 e^4x + C2 e^-5x
A derivada é
y'(x) = 4 C1 e^4x - 5 C2 e^-5x

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais em x0 = ln2. Note que
e^4ln2 = 2^4 = 16, e^-5ln2 = 2^-5 = tfrac132
Substituindo em y(ln2)=-3 e y'(ln2)=3, obtemos o sistema
16C1 + tfrac132C2 = -3, 64C1 - tfrac532C2 = 3

Passo 5

Para resolver o sistema, multiplicamos ambas as equações por 32:
512 C1 + C2 = -96, 2048 C1 - 5 C2 = 96
Isolando C2 na primeira e substituindo na segunda, achamos
C1 = -tfrac112, C2 = -tfrac1603

Resposta

A solução que satisfaz o PVI é:
y(x) = -112e^4x , - , 1603e^-5x

Exercícios relacionados