Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime-4 y^prime+3 y=3 e^2 x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial:
y'' - 4y' + 3y = 3e^2x
O objetivo é resolver essa equação usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
y'' - 4y' + 3y = 0
Para isso, montamos a equação característica:
r^2 - 4r + 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Então, temos as raízes:
r1 = 3 e r2 = 1

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^x
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente vai determinar com condições iniciais, se tiver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
y'' - 4y' + 3y = 3e^2x
Como o lado direito é $ 3e^{2x} $, vamos supor uma solução do tipo:
3e^2x
onde $ A $ é a constante que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
yp(x) = A e^2x
A
Substituindo na equação original:
yp' = 2A e^2x
Simplificando:
yp'' = 4A e^2x
4A e^2x - 4(2A e^2x) + 3(A e^2x) = 3e^2x
Então:
4A e^2x - 8A e^2x + 3A e^2x = 3e^2x
Portanto, a solução particular é:
(-A) e^2x = 3e^2x

Passo 5

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^3x + C2 e^x - 3e^2x

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 e^3x + C2 e^x - 3e^2x

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