Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial:
O objetivo é resolver essa equação usando o método dos coeficientes a determinar. Isso envolve encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos as raízes:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que a gente vai determinar com condições iniciais, se tiver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é $ 3e^{2x} $, vamos supor uma solução do tipo:
onde $ A $ é a constante que precisamos determinar.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação é: