Resolva o problema de valor inicial:
y^prime prime-4 y^prime+13 y=0, y(0)=2 e y^prime(0)=1

Passo 1

Estamos resolvendo a EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
Temos
y'' - 4y' + 13y = 0, y(0)=2, y'(0)=1
O conteúdo é equação característica e solução geral para raízes complexas.

Passo 2

Formamos a equação característica
r^2 - 4r + 13 = 0
Calculamos o discriminante
De
Como De, as raízes são complexas
r = 4 pm raiz-362 = 2 pm 3,i

Passo 3

Com raízes 2pm3i, a solução geral é dada por
y(x) = e^2xl(Acos3x + Bsin3xr)

Passo 4

Precisamos achar A e B pelas condições iniciais. Primeiro derivamos:
y'(x) = e^2xl[(2A+3B)cos3x + (2B-3A)sin3xr]
Em x=0:
y(0)=A=2, y'(0)=2A+3B=1
Resolvendo o sistema: de A=2 vem 4+3B=1, logo B=-1.

Passo 5

Substituindo A=2 e B=-1 na solução geral, chegamos à solução particular desejada.

Resposta

y(x) = e^{2x}\bigl(2\cos3x - \sin3x\bigr)

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