Resolva o problema de valor inicial:
e
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial y’’ − y’ − 20y = 0 e aplicação de condições iniciais y(0)=1, y’(0)=2
Vamos usar o método da equação característica e depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Conteúdo: equação diferencial y’’ − y’ − 20y = 0 e aplicação de condições iniciais y(0)=1, y’(0)=2
Vamos usar o método da equação característica e depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
Para resolver uma EDO linear com coeficientes constantes, montamos a equação característica trocando y por e^{λt}. Isso dá a equação
Passo 3
Resolvendo a equação característica pelo fórmula de Baskhara, temos
Logo as raízes são λ₁ = 5 e λ₂ = -4.
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
Passo 5
Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
Em seguida calculamos y’(t)=5C_1 e^{5t} - 4C_2 e^{-4t} e, em t=0:
Resolvendo o sistema
obtemos C_1 = 2/3 e C_2 = 1/3.
Resposta
y(t) = \tfrac{2}{3}e^{5t} + \tfrac{1}{3}e^{-4t}