Resolva o problema de valor inicial:
y^prime prime-y^prime-20 y=0, y(0)=1 e y^prime(0)=2

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
Conteúdo: equação diferencial y’’ − y’ − 20y = 0 e aplicação de condições iniciais y(0)=1, y’(0)=2
Vamos usar o método da equação característica e depois ajustar as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

Para resolver uma EDO linear com coeficientes constantes, montamos a equação característica trocando y por e^{λt}. Isso dá a equação
λ^2 - λ - 20 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica pelo fórmula de Baskhara, temos
λ = 1 pm raiz1 + 802 = 1 pm 92
Logo as raízes são λ₁ = 5 e λ₂ = -4.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(t) = C1 e^5t + C2 e^-4t

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
y(0) = C1 + C2 = 1
Em seguida calculamos y’(t)=5C_1 e^{5t} - 4C_2 e^{-4t} e, em t=0:
5C1 - 4C2 = 2
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 1 5C1 - 4C2 = 2
obtemos C_1 = 2/3 e C_2 = 1/3.

Resposta

y(t) = \tfrac{2}{3}e^{5t} + \tfrac{1}{3}e^{-4t}

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