1. Resolva o problema de valor inicial
y^prime=3 x^2 /(3 y^2-4), y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = 3x^23y^2 - 4, y(1)=0
Trata-se de uma equação diferencial ordinária separável: precisamos separar as variáveis x e y e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3y^2-4),dx:
(3y^2 - 4),dy = 3x^2,dx

Passo 3

Integramos cada lado:
integral (3y^2 - 4),dy = integral 3x^2,dx
No lado esquerdo,
integral 3y^2,dy = y^3, integral (-4),dy = -4y,
e no direito
integral 3x^2,dx = x^3 + C
Logo,
y^3 - 4y = x^3 + C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0^3 - 4cdot0 = 1^3 + C Longrightarrow C = -1

Passo 5

Substituindo C=-1 obtemos a solução implícita:
y^3 - 4y = x^3 - 1

Resposta

y^3 - 4y = x^3 - 1

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