Esse é um caso de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo y = e^rx na ODE homogênea, o que nos leva a
r^2 - r - 6 = 0
Passo 3
Resolvemos a equação característica:
r^2 - r - 6 = 0 implies r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52,
Então obtemos as raízes r1 = 3 e r2 = -2.
Passo 4
Como as raízes são distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x
Passo 5
Para impor a condição em y'(0), calculamos a derivada da solução geral:
y'(x) = 3 C1 e^3x - 2 C2 e^-2x
Passo 6
Aplicamos as condições iniciais em x = 0, gerando o sistema
C1 + C2 = 1, 3 C1 - 2 C2 = -1
Passo 7
Resolvendo esse sistema: da primeira equação temos C2 = 1 - C1. Substituindo na segunda: