Resolva os PVIs abaixo
l y^prime prime-y^prime-6 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' - y' - 6y = 0, y(0) = 1, y'(0) = -1
Esse é um caso de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica e depois aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y = e^rx na ODE homogênea, o que nos leva a
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Resolvemos a equação característica:
r^2 - r - 6 = 0 implies r = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52,
Então obtemos as raízes r1 = 3 e r2 = -2.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x

Passo 5

Para impor a condição em y'(0), calculamos a derivada da solução geral:
y'(x) = 3 C1 e^3x - 2 C2 e^-2x

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais em x = 0, gerando o sistema
C1 + C2 = 1, 3 C1 - 2 C2 = -1

Passo 7

Resolvendo esse sistema: da primeira equação temos C2 = 1 - C1. Substituindo na segunda:
3 C1 - 2(1 - C1) = -1 implies 5 C1 = 1 implies C1 = tfrac15
Logo C2 = 1 - tfrac15 = tfrac45

Resposta

A solução do PVI é y(x) = tfrac15 e^3x + tfrac45 e^-2x

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