Resolva cada EDO’s pelo método descrito em cada item:
(SEPARAVEL)
(SEPARAVEL)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
Pergunta: encontrar a solução
que satisfaça essa EDO e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado: e
aparecem no lado direito/esquerdo; há uma combinação de funções de
multiplicando
. A EDO é do tipo que parece permitir separar variáveis (pois os fatores em
e
aparecem multiplicativamente).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar
. Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo que estes não se anulam no domínio considerado), obtemos
Agora usamos a identidade trigonométrica
. Substituindo,
Cancelamos
(novamente, assumindo
nos pontos considerados), ficando
Passo 3
Agora separam-se as variáveis: colocamos todos os termos em
multiplicando
e todos os termos em
multiplicando
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
e por
, obtendo
Simplificando o fator em
:
Logo a separação fica
Passo 4
Integramos ambos os lados. À esquerda integraremos termo a termo; à direita integraremos
.
Calculemos as integrais separadamente.
-
-
Para
usamos integração por partes. Escolhemos e . Então e . Pela fórmula de integração por partes ,
E
. Assim
Voltando à integral original:
À direita,
onde
é a constante de integração.
Portanto a solução geral (implícita) é
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na solução implícita:
O lado esquerdo é
. O lado direito é
. Logo
Passo 6
Substituindo
na solução implícita obtemos a solução do problema de valor inicial:
Podemos reorganizar o lado direito como
. Observação útil: essa equação dá
de forma implícita; não há fórmula elemental simples para isolar
explicitamente em termos de
, portanto a forma implícita é a solução adequada para a prova.