Resolva cada EDO’s pelo método descrito em cada item:
(SEPARAVEL) \left(e^{2 y}-y\right) \cos x \frac{d y}{d x}=e^{y} \sin 2 x, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\left(e^{2y}-y\right)\cos x\,\frac{dy}{dx}=e^{y}\sin 2x, \qquad y(0)=0.
Pergunta: encontrar a solução y(x) que satisfaça essa EDO e a condição inicial.
Informações relevantes extraídas do enunciado: \cos x e \sin 2x aparecem no lado direito/esquerdo; há uma combinação de funções de y multiplicando \frac{dy}{dx}. A EDO é do tipo que parece permitir separar variáveis (pois os fatores em x e y aparecem multiplicativamente).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar \dfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por \cos x e por \left(e^{2y}-y\right) (assumindo que estes não se anulam no domínio considerado), obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{y}\sin 2x}{\left(e^{2y}-y\right)\cos x}.
Agora usamos a identidade trigonométrica \sin 2x=2\sin x\cos x. Substituindo,
\frac{dy}{dx}=\frac{e^{y}\cdot 2\sin x\cos x}{\left(e^{2y}-y\right)\cos x}.
Cancelamos \cos x (novamente, assumindo \cos x\neq0 nos pontos considerados), ficando
\frac{dy}{dx}=\frac{2e^{y}\sin x}{e^{2y}-y}.

Passo 3

Agora separam-se as variáveis: colocamos todos os termos em y multiplicando dy e todos os termos em x multiplicando dx. Para isso, multiplicamos ambos os lados por \dfrac{e^{2y}-y}{e^{y}} e por dx, obtendo
\left(\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}\right)dy=2\sin x\,dx.
Simplificando o fator em y:
\frac{e^{2y}-y}{e^{y}}=e^{y}-y e^{-y}.
Logo a separação fica
\left(e^{y}-y e^{-y}\right)dy=2\sin x\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. À esquerda integraremos termo a termo; à direita integraremos 2\sin x.
\int\left(e^{y}-y e^{-y}\right)dy=\int 2\sin x\,dx.
Calculemos as integrais separadamente.
  1. \displaystyle\int e^{y}\,dy=e^{y}.
  2. Para \displaystyle\int y e^{-y}\,dy usamos integração por partes. Escolhemos u=y e dv=e^{-y}dy. Então du=dy e v=-e^{-y}. Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv-\int v\,du,
\int y e^{-y}dy = -y e^{-y} - \int (-e^{-y})dy = -y e^{-y} + \int e^{-y}dy.
E \displaystyle\int e^{-y}dy=-e^{-y}. Assim
\int y e^{-y}dy = -y e^{-y} - e^{-y} = -(y+1)e^{-y}.
Voltando à integral original:
\int\left(e^{y}-y e^{-y}\right)dy = e^{y} - \bigl(-(y+1)e^{-y}\bigr) = e^{y}+(y+1)e^{-y}.
À direita,
\int 2\sin x\,dx = -2\cos x + C,
onde C é a constante de integração.
Portanto a solução geral (implícita) é
e^{y}+(y+1)e^{-y}=-2\cos x + C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=0 para determinar C. Substituindo x=0 e y=0 na solução implícita:
e^{0}+(0+1)e^{0} = -2\cos 0 + C.
O lado esquerdo é 1+1=2. O lado direito é -2\cdot 1 + C = -2 + C. Logo
2=-2+C \quad\Rightarrow\quad C=4.

Passo 6

Substituindo C=4 na solução implícita obtemos a solução do problema de valor inicial:
e^{y}+(y+1)e^{-y}= -2\cos x + 4.
Podemos reorganizar o lado direito como 4-2\cos x. Observação útil: essa equação dá y de forma implícita; não há fórmula elemental simples para isolar y explicitamente em termos de x, portanto a forma implícita é a solução adequada para a prova.

Resposta

e^{y}+(y+1)e^{-y}=4-2\cos x

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