(a) Resolva o problema de valor inicial: y(x)
(b) Qual o intervalo de validade da solução?
© Qual o limite de x quando +infty tende a y0 ? O limite depende de ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente tem uma equação diferencial do tipo linear, e precisamos resolver um problema de valor inicial. Para isso, vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem. Além disso, vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e condições iniciais para achar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma que fique mais fácil de identificar os coeficientes:
(x^2 - 9) dydx + x y = 0
Podemos reorganizar para:
dydx + xx^2 - 9 y = 0
Aqui, a gente tem uma equação no formato padrão:
dydx + P(x) y = Q(x)
Onde $ P(x) = \frac{x}{x^{2} - 9} $ e $ Q(x) = 0 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante ($ \mu(x) $) é dado por:
mu(x)
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Podemos usar uma substituição simples: seja $ u = x^{2} - 9 $, então $ du = 2x dx $, ou seja, $ \frac{du}{2} = x dx $. A integral fica:
P(x)
Então, o fator integrante é:
integral xx^2 - 9 dx
Como $ x^{2} - 9 $ pode ser positivo ou negativo, mas no nosso caso vamos considerar onde a solução faz sentido.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
raizx^2 - 9 cdot dydx + xraizx^2 - 9 y = 0
Isso nos permite escrever a equação na forma:
ddx ( y cdot raizx^2 - 9 ) = 0
Integrando ambos os lados em relação a $ x $:
x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, resolvemos para $ y $:
y
Para encontrar o valor de $ C $, usamos a condição inicial $ y(5) = y_{0} $:
y = Craizx^2 - 9
Logo, $ C = 4 y_{0} $.

Passo 6

Substituindo $ C $ de volta na expressão de $ y $:
C

Passo 7

Para a parte (b), o intervalo de validade da solução está determinado onde a expressão $ \sqrt{x^{2} - 9} $ é real e diferente de zero. Isso ocorre quando:
raizx^2 - 9
Como a condição inicial é $ x = 5 $, que é maior que 3, o intervalo de validade é:
x^2 - 9 > 0 Rightarrow x^2 > 9 Rightarrow |x| > 3

Passo 8

Na parte ©, queremos encontrar o limite de $ y(x) $ quando $ x $ tende a $ +\infty $:
y(x)
Então, o limite de $ y(x) $ é 0, independentemente do valor de $ y_{0} $.

Passo 9

Resumindo:
(a) A solução é $ y(x) = \frac{4 y_{0}}{\sqrt{x^{2} - 9}} $
(b) O intervalo de validade é $ x > 3 $
© $ \lim_{x \to +\infty} y(x) = 0 $, independentemente de $ y_{0} $

Resposta

Conforme resumido acima.

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